Méthode pour apprendre les mathématiques (2017)

 (math.uh.edu)
7 points par GN⁺ 2024-12-03 | 1 commentaires | Partager sur WhatsApp
  • Les mathématiques universitaires ne consistent pas, comme au lycée, à appliquer des algorithmes à des situations déterminées : elles demandent aussi de choisir la méthode appropriée à partir des définitions, théorèmes et démonstrations
  • Une définition ne peut pas être survolée à l’intuition ; il faut en comprendre la structure logique et le champ d’application, la vérifier par des exemples et contre-exemples, puis en apprendre la formulation exacte
  • Les théorèmes, propositions, lemmes et corollaires indiquent le rôle et l’importance des résultats ; il faut comprendre à la fois les hypothèses et la conclusion, les cas d’utilisation et la nécessité des hypothèses
  • Les démonstrations ne sont pas facultatives en mathématiques universitaires : pour appliquer correctement un théorème, il faut d’abord comprendre son énoncé, saisir la grande stratégie, puis combler les étapes de détail omises
  • Savoir résoudre des problèmes ne s’acquiert pas seulement par la répétition ; il faut essayer plusieurs solutions, résoudre des problèmes aléatoires et développer le discernement nécessaire pour choisir la technique à employer

En quoi les mathématiques universitaires diffèrent de celles du lycée

  • Les mathématiques du lycée consacrent beaucoup de temps aux algorithmes et aux techniques de manipulation, et l’on attend des élèves qu’ils les appliquent dans des situations déterminées
  • Avec ces seules habitudes de travail, il est difficile de suivre les mathématiques universitaires, ce qui peut provoquer de la frustration aussi bien chez les étudiants que chez les enseignants
  • La première grande différence des mathématiques universitaires est qu’elles mettent beaucoup plus l’accent sur ce que les étudiants appellent souvent la théorie
    • Énoncer précisément les définitions et les théorèmes
    • Traiter le cheminement logique par lequel un théorème est établi
    • Traiter à la fois des exemples qui montrent pourquoi une définition est appropriée et des façons d’utiliser effectivement les théorèmes
  • Si la description d’un cours contient le terme rigorous, cela signifie que les définitions et les théorèmes seront énoncés avec beaucoup de soin et que, pour les théorèmes, on donnera non pas une explication plausible mais une démonstration
  • Lire la théorie en diagonale pour passer directement aux exercices crée des difficultés en mathématiques universitaires
  • La deuxième différence concerne la manière d’aborder les techniques et les problèmes d’application
    • Au lycée, on apprend souvent une seule technique à la fois
    • En mathématiques universitaires, plusieurs approches sont possibles pour un même problème, et il faut choisir laquelle est la meilleure
    • Il faut donc des habitudes de travail qui développent non seulement l’habileté technique, mais aussi le discernement dans la résolution de problèmes

Comment étudier les définitions

  • Une définition mathématique est une phrase qui relie un concept à des concepts déjà définis, ou à des notions non définies comme number et set, afin d’en fixer précisément les limites et de lui donner un nom
  • L’intuition est nécessaire, mais elle ne suffit pas au niveau universitaire : il faut travailler directement sur l’énoncé formel de la définition et sur sa signification

  • Comprendre exactement ce que dit la définition

    • Une définition n’est pas l’endroit où s’entraîner à la lecture rapide
    • Dans une définition établie, il n’y a généralement ni mot superflu ni symbole inutile ; de petits mots comme and, or, if ... then, for all, there is indiquent la structure logique
    • Il faut d’abord déterminer de quelle catégorie générale d’objets parle la définition
      • La définition d’un polynôme parle d’un certain type d’expression algébrique
      • La définition d’une fonction continue parle d’un certain type de fonction
      • La définition d’une base d’espace vectoriel parle d’un certain type d’ensemble de vecteurs
    • Il faut ensuite interpréter ce qu’il faudrait faire pour montrer qu’un objet de cette catégorie générale satisfait la définition

  • Vérifier le champ d’application d’une définition avec des exemples

    • Les exemples standards sont utiles, mais ils peuvent laisser croire que tous les exemples ressembleront aux exemples standards
    • Pour comprendre une définition, il faut créer soi-même des exemples
      • Créer 3 exemples qui satisfont la définition tout en étant aussi différents que possible les uns des autres
      • Créer 2 exemples appartenant à la même catégorie générale mais ne satisfaisant pas la définition
      • Démontrer que ces 5 exemples se comportent bien comme prévu
    • Ces démonstrations sont généralement courtes et suivent presque directement la structure de la définition
    • Les exemples que l’on a écrits soi-même ont davantage de sens, au moment de réviser, que ceux du livre ou de l’enseignant

  • Apprendre la formulation exacte

    • Pour utiliser une définition, il faut savoir exactement ce qu’elle dit
    • Un examen peut comporter une question demandant l’énoncé d’une définition
    • Une connaissance solide des définitions occupe une place importante dans l’apprentissage global, et le temps qu’on y consacre n’est pas perdu

Travailler avec les théorèmes, propositions, lemmes et corollaires

  • Les définitions fonctionnent réellement lorsqu’elles sont reliées entre elles et à des problèmes généraux ; c’est cela que fait la théorie
  • Le nom donné à un résultat démontré indique dans une certaine mesure son importance relative et son usage prévu
    • Un théorème est un résultat important qui donne une idée majeure sur la façon dont un concept sert à résoudre des problèmes ou sur le fonctionnement d’un sujet ; sa démonstration est souvent profonde et complexe
    • Une proposition est un résultat plus modeste, qui relie souvent différentes définitions ou donne une autre forme d’une définition ; sa démonstration est généralement moins complexe que celle d’un théorème
    • Un lemme est un résultat technique utilisé dans la démonstration d’un théorème ; lorsqu’une même astuce est utilisée plusieurs fois, l’isoler permet d’éviter de répéter la démonstration
    • Un corollaire est une conséquence immédiate d’un théorème ; il donne un cas particulier ou met en évidence l’intérêt et l’importance du théorème
  • Si l’auteur ou l’enseignant emploie ces noms avec soin, ils aident à repérer ce qui est important

  • Comprendre l’énoncé d’un théorème

    • Un théorème utilise des termes définis ; pour comprendre les mots de son énoncé, il peut donc être nécessaire de revenir aux définitions correspondantes
    • Il faut distinguer les hypothèses et la conclusion dans la structure logique du théorème
    • Il faut vérifier si toutes les hypothèses sont nécessaires, ou si certaines suffisent
    • La plupart des théorèmes ne s’appliquent que lorsque toutes les hypothèses sont satisfaites
    • Le théorème ne dit rien des situations qui ne satisfont pas ses hypothèses
    • Les hypothèses indiquent ce qu’il faut montrer pour appliquer le théorème à un cas donné, et la conclusion indique ce que le théorème affirme de ce cas

  • Vérifier comment un théorème s’utilise

    • Il faut trouver des exemples de problèmes où le théorème fournit une technique pour obtenir la réponse
    • Il faut créer soi-même des problèmes et montrer comment le théorème aide à les résoudre
    • Les noter permet d’ancrer plus solidement le théorème en mémoire et de faciliter les révisions

  • Vérifier le rôle des hypothèses

    • Une méthode utile consiste à chercher, pour chaque hypothèse retirée, un exemple montrant que la conclusion peut devenir fausse
    • Beaucoup de théorèmes d’analyse ont pour hypothèse que la fonction est continue ; des exemples peuvent montrer plus clairement pourquoi le théorème échoue si cette hypothèse manque
    • De telles listes d’exemples sont utiles, et des livres comme Counterexamples in Analysis et Counterexamples in Topology sont cités en exemple
    • Dans certains cas, une hypothèse est présente non parce qu’elle est essentielle à la conclusion, mais parce qu’elle simplifie une démonstration complexe ; il n’est donc pas toujours possible de trouver un exemple montrant que chaque hypothèse est indispensable

  • Apprendre l’énoncé d’un théorème

    • Pour utiliser un théorème, il faut savoir exactement ce qu’il affirme, en prêtant une attention particulière aux hypothèses
    • Plutôt que d’essayer de mémoriser la démonstration d’un théorème, il vaut mieux la comprendre assez bien pour pouvoir la refaire soi-même

Reconstituer la structure globale du cours

  • Les mathématiques ne sont pas un ensemble disparate de techniques, mais une manière de penser et une discipline unifiée
  • Une partie du travail consiste à relier correctement entre elles les différentes définitions et les différents théorèmes
  • Ce travail est particulièrement important en fin de semestre, mais garder l’organisation d’ensemble à l’esprit pendant l’apprentissage aide à comprendre le contenu et l’ordre du cours

  • Remonter à rebours

    • Lorsqu’on arrive à un résultat important, il est utile d’examiner quels résultats antérieurs sont utilisés dans sa démonstration
    • En remontant ensuite ces résultats antérieurs jusqu’aux résultats encore plus anciens qui les démontrent, on peut finir par revenir aux définitions
    • Toutefois, certains théorèmes peuvent être donnés sans démonstration, comme lorsque la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires est omise en analyse
    • Organiser ces informations sous forme d’arbre généalogique des résultats permet de voir d’un coup d’œil comment la théorie s’emboîte
    • Dans l’exemple du théorème des accroissements finis, on relie le théorème de Rolle, des lemmes candidats, le sens du signe de la dérivée, la définition de la dérivée, les définitions de maximum et de minimum, la définition d’un intervalle fermé, l’axiome de la borne supérieure, la définition de la continuité, etc.

  • Créer un plan définitions-théorèmes

    • En remontant depuis chaque théorème majeur jusqu’aux définitions, on peut comprendre quels résultats doivent précéder les autres
    • Certaines définitions ont du mal à prendre sens avant qu’un théorème précis soit démontré
    • La dimension d’un espace vectoriel ne peut être nommée qu’une fois que l’on sait que le nombre dont on parle est unique, ce qui nécessite un théorème
    • Un plan définitions-théorèmes organise les résultats de sorte que chacun soit introduit avant d’être nécessaire dans une démonstration
    • Ce plan doit contenir l’énoncé exact de toutes les définitions et de tous les théorèmes importants, ainsi qu’une esquisse de la démonstration de chaque théorème
    • L’esquisse de démonstration montre quels résultats antérieurs sont utilisés et comment ils sont combinés ; les étapes routinières comme les simplifications de calcul ou la vérification des hypothèses sont généralement omises
    • Un tel plan est une bonne façon de commencer les révisions et constitue une ressource utile pour plus tard

Comment comprendre les démonstrations

  • Les mathématiques de niveau universitaire exigent de suivre de nombreuses démonstrations, contrairement aux mathématiques du lycée où elles étaient absentes ou facultatives
  • Suivre une démonstration est une tâche peu familière et difficile, qui peut donc être impopulaire

  • Connaître d’abord l’énoncé du théorème

    • Si l’on confond hypothèses et conclusion, on ne sait pas ce que l’on peut supposer ni ce à quoi il faut parvenir
    • La première étape pour comprendre une démonstration consiste à savoir exactement ce que dit le théorème concerné

  • Saisir les grandes lignes de la démonstration

    • Il faut d’abord examiner quels résultats antérieurs sont utilisés et quelle est la stratégie de base de la démonstration
    • Lors d’un premier passage, il faut laisser les détails de côté afin de ne pas perdre la direction générale
    • La plupart des théorèmes ont la forme d’une implication, et la structure de démonstration la plus simple consiste à accepter les hypothèses, puis à combiner des résultats antérieurs jusqu’à la conclusion
    • La démonstration par contraposée, le raisonnement par l’absurde, le raisonnement par récurrence mathématique et une forme de l’axiome du choix comme le lemme de Zorn peuvent aussi servir de stratégies

  • Combler les étapes de détail omises

    • Une fois la stratégie comprise, il faut se concentrer sur la tactique
    • Les explications de démonstration des manuels de licence, et toutes les explications de démonstrations de niveau plus avancé, omettent de nombreuses étapes routinières
    • Si une expression a été simplifiée, il faut remplir les calculs entre les lignes
    • Si un théorème est cité et appliqué, il faut vérifier que toutes les hypothèses sont effectivement satisfaites
    • Si une partie est laissée au lecteur, il faut en compléter soi-même les détails
    • À la fin, il faut savoir pourquoi chaque étape découle de la précédente ; il n’est pas nécessaire de savoir comment on aurait eu l’idée de cette démonstration

  • Pourquoi apprendre les démonstrations

    • Pour les étudiants en mathématiques, la réponse est claire, car une grande partie des mathématiques est constituée de démonstrations
    • Les étudiants qui veulent appliquer les mathématiques ont eux aussi besoin des démonstrations
    • Les applications dans d’autres domaines ne seront probablement pas exactement identiques aux problèmes d’application d’un manuel de mathématiques
    • Un cours de mathématiques ne peut pas couvrir toutes les applications connues, et la littérature mathématique publierait environ 500 articles d’application toutes les deux semaines
    • Il faut connaître les hypothèses d’un théorème pour éviter de l’appliquer à tort là où il ne fonctionne pas
    • Si nécessaire, connaître la démonstration aide à voir comment contourner une hypothèse qui échoue
    • L’un des grands pièges des mathématiques appliquées consiste à ignorer par commodité les hypothèses d’un modèle mathématique
      • Ce risque est particulièrement présent lorsque des non-mathématiciens font des mathématiques appliquées
      • Lorsque des mathématiciens font des mathématiques appliquées, ils risquent plutôt de tomber dans le piège de construire des modèles sans rapport avec la réalité
    • Beaucoup d’applications consistent à reconnaître des définitions de concepts mathématiques exprimées dans le vocabulaire d’un autre domaine
    • Les démonstrations peuvent mettre en évidence les nuances des définitions et des formes d’équivalence inattendues
    • En mathématiques, la démonstration est l’épreuve ultime de validité
    • Une fois le raisonnement logique d’une démonstration accepté, les observations ultérieures ou les changements de mode ne modifient pas la validité du résultat mathématique
    • Si les démonstrations manquent aux mathématiques, il y manque quelque chose de grave, et l’on peut dire que ce ne sont pas des mathématiques

Comment développer les techniques de résolution de problèmes

  • Environ un tiers à la moitié d’un cours de mathématiques porte sur les techniques
  • Une technique est le processus qui permet à un théorème de ne pas rester dans une forme générale, mais de fonctionner dans une situation précise
  • Dans certains cas, la démonstration donne une construction explicite, qu’il suffit alors de suivre dans un cas particulier
  • Lorsque plusieurs approches et plusieurs astuces peuvent s’appliquer à un même problème, comme pour les techniques d’intégration, il faut du discernement

  • Lire d’abord les théorèmes et les exemples

    • Traiter la résolution de problèmes comme un processus sans rapport avec le reste du cours rend l’apprentissage plus difficile
    • Les problèmes suivent souvent un schéma explicité dans la démonstration des grands théorèmes précédents
    • Connaître à l’avance le schéma général est plus facile que de le découvrir par essais et erreurs

  • Résoudre assez de problèmes pour maîtriser les techniques

    • Il faut résoudre suffisamment de problèmes pour qu’une technique unique soit solidement ancrée en mémoire
    • La responsabilité finale de l’apprentissage appartenant à l’étudiant, s’il faut plus d’exercices que ceux demandés à rendre, il faut s’entraîner par soi-même

  • Résoudre le même problème de plusieurs façons

    • Lorsqu’on s’entraîne à une technique, il est facile de penser qu’il n’existe qu’une seule approche pour un problème
    • Certaines approches peuvent être simples et d’autres complexes, mais il arrive aussi souvent que plusieurs solutions fonctionnent à peu près aussi bien
    • Une approche complexe constitue un entraînement à la résolution de problèmes nécessitant plusieurs étapes et plusieurs techniques

  • Constituer des séries de problèmes aléatoires

    • La difficulté, lorsqu’on apprend plusieurs techniques, est de décider quelle technique employer avant de commencer la résolution
    • Dans les manuels, les problèmes sont généralement groupés de façon à utiliser la technique apprise juste avant, ce qui peut encore accentuer cette difficulté
    • En choisissant 2 ou 3 problèmes dans chaque série, en les notant sur des fiches 3×5 et en les mélangeant, on peut créer une série de problèmes d’entraînement pour apprendre à décider quelle technique utiliser

Dernières habitudes de travail

  • Les énoncés mathématiques comportent très peu de redondance, et les mathématiques sont une discipline très cumulative
  • Une fois introduit, un concept n’est répété que rarement et sera ensuite supposé connu
  • Il faut se réserver suffisamment de temps pour lire le livre avant de résoudre les problèmes
  • La plupart des étudiants n’écrivent pas assez vite pour prendre en cours des notes complètes et lisibles
  • Il est utile de relire ses notes juste après le cours et d’en produire une version propre et complète où les définitions et les théorèmes sont clairement écrits
    • Ce processus aide aussi à repérer les points incompris et à poser des questions à l’enseignant à temps
  • Il ne faut pas prendre de retard
  • Les mathématiques exigent de la précision, des habitudes de pensée claires et de la pratique
  • Le bachotage de dernière minute avant un examen ne produit pas les résultats souhaités, et il renforce en plus la mauvaise habitude consistant à faire des mathématiques par mémorisation plutôt que par compréhension
  • Un sommeil suffisant et un esprit clair sont plus utiles qu’une mémorisation de dernière minute

À lire aussi

1 commentaires

 
GN⁺ 2024-12-03
Commentaires sur Hacker News

  • J’ai un doctorat en mathématiques et j’ai publié plusieurs articles, mais ma recommandation se résume à un seul méta-principe : il faut aimer les maths
    C’est un peu comme quand Benjamin Finegold disait que le secret des échecs était de prendre plaisir à chaque coup. Personnellement, je n’ai jamais vraiment eu de difficultés en maths, et je pense que c’est parce que j’aimais sincèrement manipuler des symboles, apprendre de nouvelles théories et essayer d’en construire moi-même
    Tout le monde n’aime pas les maths d’emblée, mais je pense qu’au moins la moitié de ces personnes n’ont simplement pas trouvé de chemin clair vers ce plaisir. Au lycée, les maths sont rarement enseignées comme une superbe exploration artistique et logique
    Le mieux est donc de trouver un mentor qui a déjà trouvé cette voie et de lui demander de montrer comment prendre plaisir aux maths. J’ai effectivement enseigné à beaucoup d’élèves qui détestaient les maths et les trouvaient difficiles ; au bout de quelques séances, je voyais souvent dans leurs yeux ce « en fait, c’est plutôt cool »
    Avant d’appliquer la logique, les méthodes de travail ou des techniques de productivité ennuyeuses, il faut d’abord trouver un moyen d’y prendre plaisir

    • L’un des grands problèmes de l’enseignement des maths, c’est que des gens qui détestent les maths les enseignent
      Ils voient les maths comme un médicament amer à avaler, ou comme l’entraînement à une technique compliquée et rigide ; leur manière d’enseigner devient alors maladroite et autoritaire, et les élèves deviennent passifs ou rebelles
      Récemment, le gouvernement du Manitoba, au Canada, a modifié les règles pour ne plus obliger les professeurs de maths à suivre des cours de mathématiques à l’université ; le fait que les facultés de sciences de l’éducation poussent fortement dans ce sens montre, à mon avis, à quel point les professeurs de maths détestent les maths
    • Je vois ce que tu veux dire, mais je pense que la confiance en soi est plus importante que le plaisir
      Beaucoup de gens confondent aimer quelque chose et se sentir bien parce qu’on y réussit. Du coup, quand un domaine ne leur vient plus naturellement, ils changent plus tard de spécialité pour aller là où leurs points forts fonctionnent
      Le problème, c’est d’abandonner trop tôt ; pour l’éviter, il est important de construire de la confiance au début. Quand on a l’impression d’être nul, il est presque impossible d’y prendre plaisir, donc une maîtrise de base devient la première étape vers le plaisir et la réussite future
    • Je serais curieux d’avoir des conseils ou des anecdotes sur les activités amusantes que tu as utilisées pour développer ce plaisir chez les élèves
      Je n’ai pas de doctorat, mais j’ai pas mal donné de cours particuliers de maths à de jeunes élèves, et je cherche toujours de nouvelles façons de leur faire sentir que les maths sont amusantes et merveilleuses
      Pour beaucoup d’élèves, les maths sont profondément ancrées comme une souffrance presque dénuée de sens, et elles sont aussi fortement associées à un sentiment d’insuffisance ou de honte, ce qui ne rend pas les choses faciles
    • Voir cette « étincelle » dans les yeux d’un élève au départ démotivé ou découragé a été l’un des moments les plus gratifiants de ma carrière
    • J’ai appris les maths avec un professeur qui criait tout le temps, nous disait que nous ne deviendrions jamais rien et lançait des brosses de tableau en bois
      Comment diable peut-on arriver à aimer les maths par soi-même après ça ?

  • À la fac, mon secret dans tous les cours de maths, c’était de résoudre des problèmes
    Je faisais tous les exercices à la fin de chaque chapitre du manuel, puis j’allais chercher d’autres manuels à la bibliothèque et je faisais aussi tous les exercices de fin de chapitre de ces livres
    En master/doctorat, j’ai poussé plus loin : je réécrivais tous les chapitres du manuel en complétant les étapes intermédiaires des démonstrations. Je remplissais même les passages où l’auteur passait vite avec « donc… » ou « il est évident que… »

    • J’ai récemment relu mes notes de cours de maths fondamentales et pures prises à l’université, et j’y ai trouvé partout des étapes de démonstration que mon moi de vingt ans, arrogant et sûr de lui, avait sautées en écrivant « évident »
      Vingt ans plus tard, en les relisant sans le contexte, mon moi actuel ne parvient absolument pas à les franchir
    • J’ai essayé ça, mais j’ai eu beaucoup de mal avec le transfert d’apprentissage et le rappel des définitions ; les méthodes suivantes m’ont aidé à progresser presque exponentiellement
      Je répétais les définitions de base et les révisais avec la répétition espacée ; la méthode de prise de notes Cornell était pratique pour organiser et réviser les cours
      Je tenais un journal de réflexion où je notais les problèmes que je n’avais pas su résoudre ou que j’avais résolus, pourquoi j’étais resté bloqué, ce qui avait fonctionné, etc. ; cette métacognition m’a été utile pour transférer vers de nouveaux problèmes
      Les groupes de travail où l’on s’explique beaucoup les choses entre nous ont aussi énormément aidé
    • La répétition brute qui consiste à s’exposer au plus grand nombre possible de problèmes et de solutions ressemble à la manière dont apprend l’intelligence artificielle
      Je ne pense pas que ce soit la stratégie optimale pour les humains. Il faudrait créer des ressources de maths qui aident les élèves à apprendre de façon analytique et conceptuelle
      Comme on apprend la biologie, en somme
    • C’est une bonne idée d’aller aux séances de travail avec les assistants d’enseignement et de répondre aussi aux questions en cours
      Même si on n’a pas de question, on peut faire ses devoirs pendant ce temps et écouter les questions des autres
      Non seulement on apprend davantage, mais l’assistant remarque aussi l’effort, ce qui augmente les chances qu’il soit plus favorable pour les points partiels ou dans les cas limites de notation
    • « Résoudre tous les exercices de fin de chapitre du manuel », ça dépend quand même du manuel, non ?
      Par exemple, je pense qu’il est impossible de faire tous les exercices du CLRS. Un professeur nous avait donné un problème sur le hachage universel, et il m’a fallu plusieurs heures rien que pour trouver l’intuition clé de la bonne preuve
      Avec beaucoup de priorités concurrentes, je n’imagine pas comment on peut résoudre tous les problèmes, sauf pour quelques personnes vraiment douées

  • Quand on passe du lycée à l’université, la première chose à laquelle il faut s’habituer, c’est l’état où l’on est complètement perdu et où l’on se sent vaincu
    À la fin du lycée, je pouvais tout résoudre, je finissais les examens de l’IB avec beaucoup de temps d’avance, et cela faisait des mois que je n’avais pas vu de problème du programme officiel que je ne savais pas résoudre
    À l’université, je me suis retrouvé face à des exercices dont je ne voyais même pas le rapport avec le cours que je venais d’entendre. C’est la sensation de se dire : « j’ai suivi ce cours, je suis censé résoudre ce problème avec ces informations, mais je ne comprends même pas ce que l’énoncé veut dire »
    L’apprentissage se produit précisément dans ce processus frustrant où l’on se cogne la tête contre le mur. On lit, on relit, on remplit ses notes de dérivations inutiles, et au bout d’un moment la forme finit par apparaître
    À l’université, la quantité de matière est trop vaste pour que quelqu’un puisse tout expliquer dans le temps limité disponible. L’étudiant doit saisir les idées centrales, puis consacrer lui-même le temps nécessaire à combler le reste

    • L’idée qu’« il faut s’habituer à être complètement perdu et à se sentir vaincu » est vraiment juste
      Dans mon université, il y avait un cours de remise à niveau en maths avant le semestre, qui commençait par l’addition des nombres naturels. En deux jours, on avait revu tout ce qu’on avait appris à l’école pendant treize ans
      C’était une remise à zéro brutale des attentes, mais cela montrait clairement à tout le monde qu’on n’était plus à l’école et qu’un autre type de travail et de concentration serait nécessaire

  • Liens connexes :
    How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=26524876 - mars 2021, 73 commentaires
    How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=16392698 - février 2018, 148 commentaires
    Bonus : Ask HN: How to Study Mathematics? - https://news.ycombinator.com/item?id=23074249 - mai 2020, 31 commentaires
    Ask HN: How to self-study mathematics from the undergrad through graduate level? - https://news.ycombinator.com/item?id=18939913 - janvier 2019, 227 commentaires
    Ask HN: How to self-learn math? - https://news.ycombinator.com/item?id=16562173 - mars 2018, 211 commentaires

  • Fait intéressant, ce guide affirme que la compréhension intuitive convient aux mathématiques de niveau scolaire, mais pas au niveau universitaire
    À l’inverse, David Bessis soutient dans son récent livre « Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity » que l’intuition est le « secret » de la compréhension des mathématiques à tous les niveaux
    Je ne sais pas quelle conclusion il faut en tirer, mais d’après ma lointaine expérience des mathématiques universitaires, l’intuition était un outil puissant pour développer la compréhension d’un sujet

    • Cela semble contradictoire, mais je ne pense pas que ça le soit vraiment. Le point essentiel est que l’expérience est une condition préalable de l’intuition
      Quand un lycéen voit un problème de maths de lycée, il mobilise toute son expérience des maths de la maternelle à la terminale pour en tirer une intuition de résolution. Quand on passe aux maths de licence, l’expérience existante ne suffit plus, ce qui rend les choses difficiles
      Les problèmes sont plus abstraits, exigent une rigueur bien plus élevée, et fonctionnent souvent à des niveaux plus élevés de la taxonomie de Bloom [1] que les maths de lycée. Pour le lycéen moyen, ce sont des domaines où il n’a presque aucune expérience, donc l’intuition se forme mal
      Avec l’expérience, l’intuition revient en fin de licence, en master/doctorat puis au-delà, mais c’est une intuition d’une nature essentiellement différente. Au lycée, elle est souvent visuelle et géométrique ; en mathématiques avancées, elle devient une intuition des abstractions et des outils avec lesquels attaquer les problèmes
      Ce n’est pas différent d’un programmeur qui regarde un problème et dit : « il faut une hash map, et alors ce problème devient trivial »
      [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Bloom's_taxonomy
    • En conciliant les deux idées, l’intuition acquise au niveau lycée aide pour les mathématiques de ce niveau
      C’est parce que, dans la vie quotidienne, on a un certain sens des objets géométriques ou des courbes de calcul différentiel en deux dimensions
      Au niveau universitaire, les objets sont plus abstraits, si bien que l’intuition du quotidien peut ne plus s’appliquer. Une nouvelle forme d’intuition peut apparaître, mais il faut passer beaucoup de temps sur les procédures formelles et les calculs, revenir sur ce temps passé, et faire l’effort actif de créer de nouvelles métaphores pour faire émerger cette intuition
      Par exemple, je me souviens encore d’un professeur qui utilisait Ice-9 de Cat's Cradle comme métaphore pour expliquer comment, lorsqu’on démontre une propriété locale des fonctions holomorphes sur le plan complexe, cette propriété devient aussi vraie pour le comportement global
    • Ce qui est dit ici semble être que l’intuition suffit pour les mathématiques de lycée, mais pas pour les mathématiques universitaires
      Cela ne veut pas dire qu’elle n’est pas nécessaire, mais qu’elle n’est pas une condition suffisante
    • C’est lié aux étapes de la rigueur mathématique de Terence Tao
      Pour reprendre les termes de Tao, la valeur de l’intuition devient beaucoup plus grande au stade post-rigoureux, une fois que les compétences techniques ont été suffisamment développées
      https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-...
    • J’ai lu ce livre, et je l’ai compris à peu près comme ceci : « l’intuition peut être affinée et elle est puissante, mais elle est difficile à transmettre aux autres »
      Bessis donne aussi des exemples où intuition et techniques se complètent très bien

  • La citation sur le Sitzfleisch tirée de The Lost Cafe de Gian-Carlo Rota est frappante
    Le mot allemand Sitzfleisch désigne la capacité à accomplir un travail pénible en passant d’innombrables heures devant son bureau, et les mathématiciens le considèrent, dit-on, comme une meilleure mesure du succès que les définitions séduisantes du talent que proposent parfois les psychologues
    Stan Ulam, pourtant, s’en est sorti sans Sitzfleisch. Après avoir souffert d’une encéphalite, il produisait des idées grâce à une imagination intacte, et s’appuyait pour le soutien technique sur le Sitzfleisch des autres
    La beauté de ses intuitions et le potentiel de ses propositions faisaient que de jeunes collaborateurs acceptaient volontiers de lui prêter leur temps, parfois même au risque de le gaspiller
    Source de la citation trouvée ici : http://www.romanpress.com/Rota/Rota.php

  • Dans mon cas, j’ai eu l’impression d’atteindre un tout autre niveau quand j’ai essayé de refaire moi-même toutes les démonstrations
    Avant, après avoir lu plusieurs fois un sujet, je parcourais les définitions et les démonstrations une par une, en essayant d’abord de retrouver l’énoncé, puis de le démontrer moi-même. En faisant ça, on atteint indirectement presque tout ce dont parle le texte
    Ce qui est intéressant, c’est qu’après ça, la plupart des exercices qui me paraissaient auparavant compliqués devenaient des problèmes que je pouvais résoudre directement. C’était presque comme un cheat code qui dispensait de faire des exercices
    Quand j’enseignais à l’université à différents niveaux, je demandais chaque année s’il y avait quelqu’un qui avait essayé de retrouver chez lui la démonstration des théorèmes, et il n’y avait jamais personne. Quand je disais que c’était ce qu’il fallait faire, les gens étaient toujours surpris

    • Je vais essayer de faire ça aussi. Si on y ajoute la compréhension des définitions à plusieurs échelles, alors, même s’il faut encore un peu d’assemblage, c’est comme si le manuel entrait dans la tête

  • Il manque dans cet article la dimension méta de l’apprentissage des mathématiques
    Une réflexion créative sur sa propre façon d’apprendre commence vraiment à porter ses fruits vers le milieu des études universitaires
    Le rapport aux conventions devient aussi important que le rapport aux techniques. Pour comprendre le « tout » de quelque chose, il faut aussi comprendre par quels biais la manière dont c’est présenté devant nous a été façonnée. On aura probablement envie de décaper ces biais
    C’est pareil, que l’on veuille changer les mathématiques ou simplement les apprendre. Une attitude passive consistant à faire ce que les autres attendent mène à la frustration

  • J’ai découvert MathAcademy.com sur HN et je m’y suis inscrit ; mon expérience récente a été une très agréable surprise
    À plus de 50 ans, j’avais envie de réapprendre les maths du lycée d’il y a 35 ans, donc j’ai avancé rapidement dans la série Foundations ; j’en suis maintenant à peu près à la moitié de Foundations 3, avec environ 9000 XP accumulés en 9 semaines à raison de 2 heures par jour
    En 2025, je prévois d’essayer 1 à 3 cours de niveau universitaire, à un rythme plus lent
    En tant qu’autodidacte, cela correspondait bien à ma manière d’apprendre. C’est plaisant, mesurable, le niveau de difficulté s’ajuste, on ne se heurte pas à un « mur » ni à des « dépendances non satisfaites », et les explications des problèmes que l’on n’a pas su résoudre sont approfondies
    La plus grande prise de conscience, pour moi, a été qu’on peut apprendre sans prendre énormément de notes pour réviser et mémoriser. L’expérience et la répétition espacée suffisaient. La pause de Noël servira de test pour voir si l’apprentissage s’est vraiment consolidé

    • J’utilise Math Academy tous les jours depuis plus d’un an, et je suis moi aussi impressionné de voir à quel point j’apprends
      9000 XP en 9 semaines, c’est un rythme impressionnant

  • La phrase « ne prenez pas de retard » m’a beaucoup marqué
    J’ai été l’un de ces étudiants de licence en maths paresseux qui ont galéré sur plusieurs sujets de première année, sans demander d’aide ni y consacrer assez de temps, et qui n’ont finalement jamais rattrapé leur retard
    Je pense aussi que l’enseignement était franchement très mauvais par endroits. On passait des choses sous silence avec des « il suffit de l’admettre » ou des « c’est évident, je vous laisse compléter », ce qui, honnêtement, est désastreux pour des étudiants de 18 ans
    Un système où l’on obtient 30 % en « Analyse 1 » et où l’on est quand même propulsé dès le semestre suivant en « Analyse 2 », en espérant qu’on se débrouille, n’est pas un bon système selon moi
    Le temps que j’ai passé à faire des maths à l’université a été vraiment pénible, et j’aurais peut-être dû choisir quelque chose de plus appliqué, comme l’ingénierie ou l’informatique
    Quelqu’un disait : « si vous aimez la biologie au lycée, faites de la psychologie à l’université ; si vous aimez la chimie, faites de la biologie ; si vous aimez la physique, faites de la chimie ; si vous aimez les maths, faites de la physique ; si vous aimez la philosophie, faites des maths ». J’aurais dû écouter

    • Je suis d’accord pour dire que ce système est catastrophique. L’école gâche les mathématiques
      Cela dit, une fois devenu un adulte pleinement mûr, on peut toujours revenir aux maths sans les contraintes absurdes de temps et de notes
      Je pense que les maths se prêtent mal à la pression du temps. Les maths, c’est passer du temps avec des idées, jouer avec elles, prendre des risques, faire aussi des conjectures idiotes. C’est fondamentalement un jeu, et la pression du temps n’aide personne
      Si cela vous intéressait, vous pouvez toujours y revenir, et même reprendre des cours si vous le souhaitez. Il existe aussi beaucoup de bons livres pour autodidactes et de communautés avec lesquelles apprendre
    • Ce conseil est bon si l’objectif est d’avoir de bonnes notes
      Mais si l’on veut aller au fond des choses, tout comprendre et s’attaquer aux questions fondamentales de la science, on peut au contraire vouloir l’inverser
      Si la biologie vous intéressait, étudiez la chimie, puisque les processus du vivant sont des processus électrochimiques ; si la chimie vous intéressait, étudiez la physique, puisque les molécules, les atomes, leur formation et leurs réactions sont des processus physiques, et ainsi de suite
    • « Si vous aimez les maths, faites de la physique ; si vous aimez la philosophie, faites des maths » : dans ce cas, j’ai l’impression d’avoir fait le bon choix. J’ai fait des maths