- Le problème du carré inscrit, posé en 1911 par Toeplitz, est un problème ouvert qui demande si toute courbe fermée continue possède nécessairement quatre points formant les sommets d’un carré ; une version plus simple avec des rectangles peut être abordée par la topologie
- Un rectangle apparaît lorsque deux paires de points ont le même milieu et la même distance ; en envoyant toutes les paires de points de la courbe vers des points d’un espace en 3 dimensions, les auto-intersections correspondent donc à des rectangles inscrits
- L’ensemble de toutes les paires de points non ordonnées devient naturellement une bande de Möbius, et les paires où l’on choisit deux fois le même point forment son bord, situé dans le plan de la courbe d’origine
- En recollant cette bande de Möbius à son reflet sous le plan, on obtient une bouteille de Klein ; le fait qu’elle ne puisse pas être représentée en 3 dimensions sans auto-intersection devient l’idée centrale de la preuve de l’existence d’un rectangle
- Le problème du carré est plus difficile, car il faut aussi suivre l’angle des paires de points ; contrairement au résultat de 2020 de Joshua Andrew Lobb pour les courbes lisses, les courbes irrégulières de type fractal restent un cas difficile
Le problème du carré inscrit et le problème plus simple du rectangle
- Une courbe fermée continue peut être vue comme une boucle que l’on peut tracer sans lever le stylo et qui revient à son point de départ
- Si quatre points d’une courbe sont les sommets d’un carré, ce carré est un carré inscrit dans la courbe
- La question de savoir si toute courbe fermée continue possède nécessairement un carré inscrit est un problème ouvert posé en 1911 par Toeplitz, généralement appelé inscribed square problem
- Une question plus simple consiste à demander si toute boucle fermée possède nécessairement un rectangle inscrit ; sa preuve s’appuie sur une idée de Herbert Vaughan
- Plutôt que de chercher des applications connues, l’accent est mis sur la manière dont une structure de résolution de problème se construit en s’attaquant à une énigme pure
Transformer les rectangles en auto-intersections d’une application en 3D
- La condition pour que quatre points forment un rectangle peut se reformuler ainsi : deux segments ont le même milieu et la même longueur
- Si deux segments ont le même centre et la même longueur, leurs quatre extrémités forment un rectangle
- Pour chaque paire de points sur la courbe, on enregistre les informations suivantes
- Les coordonnées x et y du milieu de la paire de points
- La distance d entre les deux points
- Ces trois valeurs deviennent un point de l’espace en 3 dimensions, ce qui définit une application continue de l’ensemble des paires de points de la courbe vers l’espace 3D
- Si deux paires de points différentes sont envoyées vers le même point 3D, elles ont le même milieu et la même distance, et forment donc un rectangle inscrit
- Tous les points de sortie possibles forment une surface complexe dans l’espace 3D, et les auto-intersections de cette surface correspondent à des rectangles inscrits
- Dans le cas d’un cercle, de nombreuses paires de points se rejoignent en un point au sommet d’un dôme, et le cercle possède une infinité de rectangles inscrits
- Si on le déforme en ellipse, plusieurs intersections apparaissent comme une ligne verticale
- Ici, une auto-intersection ne désigne pas l’apparence visuelle, mais la situation où « deux paires de points différentes sont envoyées vers la même sortie »
Comment l’espace des paires de points devient une bande de Möbius
- Si l’on attribue à chaque point de la boucle une coordonnée de 0 à 1, 0 et 1 représentent le même point de la boucle ; il faut donc recoller les deux extrémités
- Deux points ordonnés peuvent être représentés par un point du carré unité
- La coordonnée x est le premier point
- La coordonnée y est le deuxième point
- En recollant respectivement les côtés gauche et droit, puis haut et bas, la structure complète devient un tore
- Dans la preuve pour les rectangles, l’ordre de la paire de points n’a pas d’importance
- Considérer a,b et b,a comme différents crée une redondance inutile dans la condition « même milieu et même distance »
- Il faut donc considérer x,y et y,x comme la même paire de points
- Si l’on plie le carré unité le long de sa diagonale puis que l’on découpe et recolle en tenant compte des identifications de bord, le résultat est une bande de Möbius
- Cette bande de Möbius n’est pas un jouet arbitraire : c’est l’espace naturel qui représente continûment toutes les paires non ordonnées de points de la boucle
- Chaque point de la bande correspond à une paire non ordonnée de points sur la boucle
- Chaque paire non ordonnée de points sur la boucle correspond aussi à un point de la bande
- Si l’on déplace légèrement un côté, l’autre ne bouge lui aussi que légèrement, sans saut brutal
- Le bord rouge issu de la diagonale x,x correspond à l’ensemble des paires où l’on choisit deux fois le même point ; dans l’application 3D précédente, il doit aller sur le plan xy où se trouve la boucle d’origine
Le rôle de la bouteille de Klein dans la preuve
- Si l’on considère une application continue de la bande de Möbius vers une surface 3D, le bord de la bande doit se trouver dans le plan où repose la boucle d’origine
- Au départ, on pourrait croire nécessaire l’intuition selon laquelle « on ne peut pas placer une bande de Möbius en 3D, avec son bord dans un plan, sans auto-intersection », mais cette phrase n’est pas vraie telle quelle
- Le mathématicien Asimov a construit un plongement de la bande de Möbius en 3D dont le bord est un cercle situé dans un plan
- Dans cette construction, l’intérieur de la bande passe à la fois au-dessus et au-dessous du cercle
- La surface construite à partir des paires de points de la boucle utilise la distance d comme hauteur ; tous ses points intérieurs se trouvent donc au-dessus du plan xy
- La condition nécessaire prend donc la forme suivante : « on ne peut pas placer une bande de Möbius sans auto-intersection avec son bord dans un plan et son intérieur au-dessus de ce plan »
- Si l’on reflète cette surface sous le plan puis qu’on la recolle à la surface d’origine le long de leur bord, on obtient une surface fermée formée de deux bandes de Möbius
- La surface obtenue en recollant les bords de deux bandes de Möbius peut être vue comme une bouteille de Klein
- La bouteille de Klein est un exemple emblématique de surface non orientable, où l’on ne peut pas distinguer clairement un intérieur et un extérieur
- En 3 dimensions, elle ne peut pas être représentée correctement sans auto-intersection ; en dimension supérieure, elle peut exister plus aisément
- Comme la bouteille de Klein ne peut pas éviter les auto-intersections en 3D, la surface des paires de points de la boucle et son reflet doivent eux aussi avoir une auto-intersection
- Cette auto-intersection signifie que deux paires de points différentes ont le même milieu et la même distance ; il existe donc un rectangle inscrit
Le problème du carré, la régularité et le rôle de la topologie
- Pour obtenir un carré, il faut suivre non seulement le milieu et la longueur des deux paires de points, mais aussi l’angle du segment
- Si deux segments ont le même milieu et la même longueur, et que leurs angles diffèrent de 90 degrés, ils forment un carré
- Comme l’information passe à quatre composantes, il devient naturel de réfléchir aux plongements de la bande de Möbius et de la bouteille de Klein dans un espace à 4 dimensions
- En 2020, Joshua Andrew Lobb a étendu ce résultat aux courbes lisses
- Pour les courbes lisses, l’existence d’un carré était déjà connue
- Le résultat de Lobb montre que, dans ce cas particulier, on peut trouver des rectangles de tous les rapports d’aspect possibles
- Cette discussion fait intervenir des plongements de bandes de Möbius et de bouteilles de Klein dans un certain espace à 4 dimensions
- Dans les courbes lisses, il existe une tangente bien définie en chaque point
- Lorsque les paires de points se rapprochent, le milieu et la distance ont un comportement limite propre
- Même si l’on suit aussi l’angle, à mesure que les deux points se rapprochent, l’angle du segment tend vers l’angle de la tangente en ce point
- Dans les courbes irrégulières de type fractal, l’angle peut ne pas avoir un tel comportement limite
- La difficulté du problème du carré inscrit tient au fait qu’il doit inclure toutes les courbes irrégulières
- En topologie, des formes comme la bande de Möbius ou la bouteille de Klein ne sont pas seulement des objets étranges : elles servent d’outils logiques pour déterminer ce qui est possible ou impossible sous des correspondances continues
1 commentaires
Avis de Hacker News
J’ai vraiment aimé cette vidéo. J’ai fait un doctorat en topologie algébrique et j’ai beaucoup étudié la topologie, donc le contenu m’était familier, mais je ne sais pas si j’aurais su expliquer ces concepts avec une telle clarté, ni relier le monde ardu de la topologie à un problème « pratique » de cette façon.
Après mon doctorat, je suis passé par plusieurs métiers et je travaille maintenant dans l’IA comme ingénieur logiciel de recherche. Les mathématiques pures me manquent souvent, et je regrette parfois un peu d’avoir quitté le monde académique, mais retourner aux mathématiques universitaires me semble presque impossible. Les vidéos de 3B1B me rappellent toujours que les mathématiques sont ouvertes à tout le monde, et qu’on peut les apprécier, les apprendre et faire de nouvelles découvertes même sans être employé comme mathématicien à l’université.
Pour être à la frontière de la recherche dans un domaine précis, il faut sans doute travailler comme mathématicien professionnel, mais en dehors de cela, comme les fondements des mathématiques ne changent pas, je pense qu’elles restent accessibles à toute personne ayant suffisamment d’intérêt et de passion.
Mes anciennes disciplines me manquent, tout comme l’époque où j’étais jeune et à l’université.
3B1B montre ce qui est possible dans l’enseignement des mathématiques. L’avenir de ce domaine me donne envie, mais je trouve dommage qu’il faille sans doute beaucoup de temps avant que cette approche soit intégrée à l’enseignement des maths.
Et puis nous regardons cette vidéo parce que nous voulons apprendre. Au moment où l’on appuie sur lecture, on est déjà plongé dans le sujet. À l’inverse, dans les cours au lycée ou à l’université, la plupart des gens sont là non pas parce qu’ils le veulent, mais parce qu’ils y sont obligés, sans engagement initial. Un professeur ne peut pas non plus repérer immédiatement, comme le ferait une vidéo, l’étudiant qui commence à s’assoupir au troisième rang en partant du fond.
Cela fonctionne très bien pour ceux qui veulent apprendre, mais cela risque aussi de faire prendre encore plus de retard à ceux qui n’ont pas envie de maîtriser le contenu.
Au final, sans la complexité et la notation qu’on apprend dans les méthodes d’enseignement traditionnelles que l’on critique ici, il serait difficile de produire des explications aussi fortement simplifiées. Cela dit, les étudiants doués ont souvent déjà ces images en tête, avec une intuition claire, et pour aider les étudiants moins familiers ou moins talentueux à suivre, cette approche est très pertinente.
Content qu’ils reviennent sur ce problème. Il y a quelques années, la première vidéo sur ce sujet m’a immédiatement rendu accro à 3B1B.
Je connaissais le ruban de Möbius depuis l’enfance, et au début de mon adolescence je connaissais aussi l’idée des preuves d’existence du type « une fonction continue doit forcément passer par tel endroit ».
Mais je n’avais jamais imaginé qu’un ruban de Möbius puisse être autre chose qu’une curiosité inutile, et maintenant j’ai presque l’impression de devoir lui présenter mes excuses pour l’avoir traité avec autant de légèreté. Son rôle dans cette preuve est étonnant et délicieusement stimulant.
https://www.youtube.com/watch?v=SXHHvoaSctc&list=PLTBqohhFNB...
Je ne connais presque rien aux mathématiques au-delà des bases les plus élémentaires, mais ce genre de contenu est fascinant, et j’ai besoin de schémas pour le comprendre. C’est une excellente vidéo.
Quand la vidéo a présenté une méthode pour projeter deux dimensions en trois dimensions, ma première pensée a été : « Est-ce que c’est une méthode pour projeter trois dimensions en quatre dimensions ? » Plus tard, elle a effectivement mentionné la quatrième dimension. Ça, je n’arrive ni à le visualiser, ni à vraiment le comprendre.
Même en 3D, on peut raisonner avec des phrases comme « deux objets ne peuvent pas exister au même endroit au même moment », « les droites parallèles se rencontrent à l’infini », « les droites parallèles ne se rencontrent jamais ». Simplement, en 3D, nous avons la visualisation et l’intuition, donc nous ne décomposons pas tout formellement à chaque fois.
Ravi de voir Lobb mentionné. Il y a quelques années — enfin, il y a même assez longtemps — j’ai suivi algèbre linéaire 1 avec Lobb. C’était un excellent professeur, et je repense encore avec le sourire à l’expression désespérée qu’il affichait quand nous ne comprenions pas quelque chose.
Dès 4:15 dans la vidéo, j’ai eu l’impression qu’il y avait un problème. On aurait dit qu’il sautait directement à la conclusion qu’il n’y avait qu’une seule distance pour chaque milieu. Mais ce milieu est le résultat du choix de deux points sur la frontière, et on peut facilement choisir deux autres points ayant le même milieu mais une distance différente.
Il n’a pas traité ce point immédiatement, et pendant les deux minutes suivantes cette idée m’a trotté dans la tête. Comme il continuait dans cette direction sans l’expliquer, je me suis demandé si j’avais raté quelque chose, ou si des spectateurs plus doués en maths auraient résolu cette question ouverte en quelques secondes, et si je n’étais pas assez porté sur les maths pour faire partie du public visé, alors j’ai arrêté la vidéo.
Je pense qu’une bonne vidéo pédagogique est le résultat d’un processus où des spectateurs de test soulèvent ce genre de points, puis où la vidéo est sans cesse affinée pour aboutir à une version finale qui fonctionne même pour quelqu’un qui remet tout en question.
Aucune unicité n’est nécessaire ici. Au contraire, le point essentiel est de transformer la recherche d’un rectangle inscrit en la recherche de deux paires de points ayant le même milieu et la même distance ; il le dit précisément 1 minute 15 après le moment que tu mentionnes.
Mais avec une définition visuelle, il est très naturel de se tromper comme tu l’as fait. L’image ressemble au graphe d’une fonction qui prend un milieu en entrée et renvoie la distance correspondant à ce milieu ; or, comme tu l’as souligné, ce n’est pas bien défini. Si on comprend les choses ainsi, la suite de la vidéo devient complètement incompréhensible. Le reste de la vidéo est en effet consacré à expliquer que le domaine de cette fonction, vu comme l’ensemble des paires non ordonnées de points {A, B}, devient un ruban de Möbius.
Au fond, dès qu’on n’a pas une version 100 % formelle d’un énoncé, certaines personnes l’interpréteront autrement que prévu. Cela n’a rien à voir avec l’intelligence du public. 3Blue1Brown le sait aussi, et semble expérimenter d’autres formats : cette vidéo est également disponible sous forme d’article de blog interactif, où la fonction est explicitement écrite « f(A, B) = (x, y, z) » et où les variables sont expliquées : https://www.3blue1brown.com/lessons/inscribed-rect-v2
« Avec un public suffisamment large, même composé uniquement de personnes très intelligentes, chaque explication informelle donnera lieu à des interprétations différentes » : c’est l’une des difficultés centrales de l’enseignement des mathématiques. Dans un contexte interactif, on peut interrompre le cours et poser une question, mais cela crée aussi une incitation à se concentrer davantage sur le formalisme, au détriment du temps consacré aux visualisations et à l’intuition.
Pour répondre à la question précise : il ne suppose absolument pas qu’il n’y a qu’une seule distance pour chaque milieu. Il ne le dit pas, et la visualisation ne le montre pas non plus.
Une autre façon d’aborder la topologie se trouve dans General Topology de John L. Kelley, D. Van Nostrand, Princeton, 1955.
Dans l’ensemble des réels R, si x, y ∈ R et x < y, alors (x,y) = { z | x < z < y } est un ensemble ouvert ; si x <= y, alors [x,y] = { z | x <= z <= y } est un ensemble fermé. Un sous-ensemble de R qui est fermé et borné est compact, ce qui est une propriété puissante dans des domaines comme l’intégration de Riemann.
Ce type de notions s’étend à des espaces topologiques bien plus généraux que la droite réelle et les intervalles ouverts ou fermés. C’est sans doute pour cela que le titre du livre contient « General ». J’ai lu Kelley en quatrième année de fac de maths et j’ai même fait des exposés dessus à mon professeur, mais il existe aujourd’hui aussi d’autres définitions de la topologie.
Cette vidéo m’a permis de comprendre ce qu’est la topologie.
Est-ce que cette vidéo rend quelqu’un d’autre anxieux ? On dirait qu’il me reste une peur de l’échec, ou une anxiété résiduelle d’hyperperformant.
J’ai un doctorat en maths et je me suis largement éloigné de la recherche académique. Ce qui m’a permis de tenir jusqu’au diplôme, ce n’était pas le désir de réussite ou d’accomplissement académique, mais l’amour du chemin. Après avoir trouvé un emploi, les maths sont devenues pendant un temps quelque chose de sombre et d’effrayant, et cette vidéo a été comme une bouffée d’air frais.
J’espère que tu trouveras une source de joie dans laquelle tu pourras t’investir. On peut s’épanouir à partir de ce genre de racines. Ce n’est pas forcément le travail. En réalité, je pense qu’au fond de l’anxiété se trouve un marché de l’emploi dangereux. Mes racines ne sont pas ma carrière, mais la famille que j’ai choisie. Avec ce sentiment de sécurité, l’esprit vagabonde plus facilement, et on peut aussi s’attaquer à des puzzles comme ce problème ouvert. Tout commence par la curiosité.
Il y a longtemps, lors d’une conférence, John H. Conway m’a confié qu’au début de sa carrière il avait ressenti exactement la même chose que toi.
Pour parler d’échec : une idée m’est venue pour aborder ce problème ouvert et j’ai rapidement écrit du code pour l’appliquer au flocon de Koch. En la mettant par écrit, j’ai vu un problème évident dans l’approche, et pour donner seulement la conclusion hors contexte, j’ai repéré une division par zéro avant même d’écrire cette ligne de code. Comme il n’y avait aucune raison que je réussisse, l’échec était amusant, et repérer un bug avant de l’écrire est toujours satisfaisant.