À quelle vitesse les journées rallongent-elles ?
(joe-antognini.github.io)- Dans l’hémisphère Nord, c’est juste après l’équinoxe de printemps que la durée du jour augmente le plus vite, et même un écart d’une seule journée se traduit par un gain d’ensoleillement très différent selon la latitude
- La durée du jour peut être calculée à partir de l’angle horaire du lever du soleil, obtenu à partir de la latitude de l’observateur et de la déclinaison du Soleil
- À l’équateur, la durée du jour est de 12 heures toute l’année, et aux équinoxes de printemps et d’automne elle est de 12 heures quelle que soit la latitude, mais une exception apparaît à partir du cercle polaire arctique, 66,55°, où le Soleil ne se couche plus au solstice d’été
- En pratique, le lever et le coucher du soleil allongent la durée du jour par rapport au modèle simple à cause de la taille apparente du disque solaire et de la réfraction atmosphérique ; même à l’équateur, à l’équinoxe de printemps, cela ajoute 6 minutes et 40 secondes de jour
- On peut modéliser plus précisément l’ellipticité de l’orbite terrestre et l’obliquité de l’écliptique, mais sauf à proximité du cercle polaire, l’effet de l’orbite elliptique sur la durée du jour ne dépasse pas environ 10 secondes
Pourquoi les journées s’allongent rapidement après l’équinoxe de printemps
- Dans l’hémisphère Nord, les journées rallongent rapidement après l’équinoxe de printemps
- L’expérience d’un ami vivant à Stavanger, en Norvège, dont la fenêtre en arrière-plan restait sombre pendant six mois avant de redevenir lumineuse entre deux réunions, a conduit à se demander de combien augmente chaque jour la durée d’ensoleillement
- On peut comparer, selon la latitude, la durée du jour et sa variation quotidienne à l’aide d’un graphique interactif
- Les lignes verticales pointillées du graphique indiquent le solstice d’été, le solstice d’hiver, l’équinoxe de printemps et l’équinoxe d’automne
- Aux latitudes de l’hémisphère Nord, le jour est le plus long au solstice d’été et le plus court au solstice d’hiver
- Aux équinoxes de printemps et d’automne, la durée du jour est exactement de 12 heures quelle que soit la latitude, et c’est aussi à ce moment qu’elle varie le plus vite
- Les régions très proches du cercle polaire arctique, 66,55°, constituent toutefois une exception
- Plus on s’approche du cercle polaire, plus la durée du jour adopte une forme en zigzag, augmentant presque en ligne droite du solstice d’hiver au solstice d’été avant de rediminuer
Les bases mathématiques pour calculer la durée du jour
- Pour calculer combien de temps le Soleil reste au-dessus de l’horizon à une date donnée, on utilise l’angle horaire en astronomie sphérique
- L’angle horaire est l’angle entre un astre et le méridien ; converti en temps, il indique le temps restant avant le passage de l’astre au méridien
- Le temps entre le lever et le coucher du soleil se calcule comme le double du temps entre le lever du soleil et son passage au méridien
- Le calcul repose sur deux valeurs essentielles
- la latitude de l’observateur (\lambda)
- la déclinaison du Soleil (\delta), c’est-à-dire l’angle qui mesure son éloignement par rapport à l’équateur céleste
- Si l’on fixe l’altitude du Soleil à 0 au moment du lever, la loi des cosinus en géométrie sphérique donne l’équation du lever du soleil suivante
[ H = \arccos (-\tan \lambda \tan \delta) ]
- Le Soleil se déplace le long du grand cercle de l’écliptique, et dans une approximation de premier ordre on peut considérer que ce mouvement est presque uniforme
- La déclinaison solaire peut être approchée par une simple sinusoïde
[ \delta \simeq \epsilon \sin \left( \frac{T}{365 , \textrm{d}} \right) ]
- Ici, (\epsilon) est l’obliquité de l’écliptique, c’est-à-dire l’inclinaison de l’axe de rotation terrestre, d’environ (23.45^\circ), et (T) le nombre de jours écoulés depuis l’équinoxe de printemps
- Une fois la latitude et la date connues, la durée du jour peut être approximée par la formule suivante
[ t_{\textrm{daylight}} \approx \frac{2}{15^{\circ}} \arccos \left(-\tan \lambda \tan \left(23.45^{\circ} \times \sin \frac{2 \pi T}{365 , \textrm{d}} \right) \right) , \textrm{hr} ]
Comment la durée du jour varie selon la latitude
- À l’équateur, comme la latitude (\lambda) vaut 0, l’expression se simplifie et la durée du jour vaut exactement 12 heures toute l’année
- À l’équinoxe de printemps, on a (T = 0), donc la durée du jour vaut 12 heures
- comme (\cos(x+\pi)=\cos x), on obtient le même résultat à l’équinoxe d’automne
- aux équinoxes de printemps et d’automne, la durée du jour est exactement de 12 heures quelle que soit la latitude
- La fonction arccos n’est définie que lorsque son argument est compris entre (-1) et (1)
- Au solstice d’été, le terme (\sin T) vaut 1, et si (\tan \lambda \tan 23.45^\circ) dépasse 1, la formule n’est plus définie
- Cette condition apparaît à partir de la latitude (90^\circ - 23.45^\circ = 66.55^\circ), qui définit le cercle polaire arctique
- Au niveau du cercle polaire et au-delà, au solstice d’été, le Soleil ne se couche pas et la formule de durée du jour ne s’applique plus
- Au pôle Nord, le Soleil se lève une fois par an à l’équinoxe de printemps et reste visible jusqu’à l’équinoxe d’automne
Variation quotidienne de la durée du jour
- Une fois la formule de la durée du jour obtenue, on peut calculer de combien elle change chaque jour par dérivation
- Exprimée en minutes par jour, on obtient la forme suivante
[ \frac{dt_{\textrm{daylight}}}{dT} = \frac{576 \epsilon \cos 2\pi \widetilde{T} \tan \lambda \sec^2 (\epsilon \sin 2\pi \widetilde{T})}{73\sqrt{1 - \tan^2 \lambda \tan^2 (\epsilon \sin 2\pi \widetilde{T})}} , \frac{\textrm{min}}{\textrm{day}} ]
- (\widetilde{T}) représente la fraction de l’année écoulée depuis l’équinoxe de printemps
Ce qui complique le lever et le coucher du soleil dans la réalité
-
Disque solaire et réfraction atmosphérique
- Le calcul simple considère comme lever du soleil l’instant où le centre du Soleil touche l’horizon, mais en réalité le lever est visible plus tôt
- Le Soleil a un diamètre apparent d’environ 0,5 degré, donc lorsque son centre est sur l’horizon, la moitié du disque solaire est déjà au-dessus
- En pratique, il faut considérer le moment où la partie supérieure du Soleil touche l’horizon
- Au moment où l’observateur voit le Soleil se lever, sa position réelle peut encore être sous l’horizon
- À cause de la réfraction atmosphérique, la lumière solaire est déviée vers le haut, ce qui fait paraître le Soleil plus haut qu’il ne l’est réellement
- Pour en tenir compte, il faut fixer l’altitude du Soleil non pas à 0, mais à une petite valeur négative
- En prenant ensemble la taille du disque solaire et la réfraction atmosphérique, l’altitude solaire moyenne au lever et au coucher vaut environ (-50')
- La réfraction atmosphérique peut varier sensiblement selon les conditions météorologiques près de l’horizon
- Dans ce cas, l’équation du lever du soleil devient plus complexe
[ H = \arccos \left(-\tan \lambda \tan \delta - \frac{\sin a}{\cos \lambda \cos \delta} \right) ]
- L’écart de (-50') peut sembler faible, mais il produit une différence non négligeable sur la durée du jour
- À la latitude de Los Angeles, (34^\circ), cela ajoute environ 8 minutes de jour
- À strictement parler, à cause de l’atmosphère, le terme equinox est donc inexact
- Même à l’équateur, à l’équinoxe de printemps, cela ajoute 6 minutes et 40 secondes de jour, si bien que le jour dure plus de 13 minutes de plus que la nuit
- Aux latitudes élevées, l’effet de la réfraction atmosphérique est encore plus marqué
- Comme l’écliptique passe presque parallèlement à l’horizon, le Soleil doit se déplacer beaucoup plus horizontalement pour gagner un peu en hauteur apparente
- À Stavanger, autour du solstice, cet effet ajoute près de 20 minutes au jour
- Jusqu’à très près du cercle polaire, cet effet a toutefois une influence relativement faible sur la variation quotidienne de la durée du jour
-
Obliquité de l’écliptique et ellipticité de l’orbite terrestre
- Le modèle simple approxime la déclinaison solaire par une sinusoïde
[ \delta \simeq \epsilon \sin \left( \frac{T}{365 , \textrm{d}} \right) ]
- Cette approximation est raisonnable, mais elle a deux limites
- Premièrement, elle ne reflète pas exactement la géométrie sphérique
- Dans le cas extrême où l’écliptique serait inclinée de (90^\circ), la déclinaison solaire augmenterait linéairement de (0^\circ) à (90^\circ) avant de diminuer
- Une formule plus précise est la suivante
[ \delta = \arcsin \left(-\sin \epsilon \sin \left( \frac{T}{365 , \textrm{d}} \right) \right) ]
- L’approximation simple revient à utiliser les approximations aux petits angles (\sin x \simeq x) et (\arcsin x \simeq x)
- Comme l’obliquité de l’écliptique (\epsilon) reste relativement petite, l’écart avec la valeur réelle n’excède pas (1.5^\circ) et son effet sur la variation quotidienne de la durée du jour reste relativement limité
- Deuxièmement, le modèle simple suppose que le Soleil se déplace à vitesse angulaire constante tout au long de l’année
- Or l’orbite terrestre est une ellipse ; près du périhélie, début janvier, le Soleil se déplace plus vite que la moyenne, et près de l’aphélie, début juillet, plus lentement
- Pour tenir compte de l’excentricité de l’orbite terrestre, il faut utiliser l’équation de Kepler
- En résolvant cette équation pour obtenir l’eccentric anomaly, puis en la convertissant en true anomaly, on obtient la longitude écliptique du vrai Soleil plutôt que celle du Soleil moyen
- L’effet global de l’ellipticité de l’orbite terrestre sur la durée du jour est très faible
- Comme le Soleil se décale légèrement d’ouest en est par rapport aux étoiles de fond, le jour solaire dure environ 4 minutes de plus que le jour sidéral, qui correspond à une rotation complète de (360^\circ) de la Terre
- Près du périhélie, le Soleil se déplace plus vite que la moyenne et allonge légèrement les journées ; près de l’aphélie, elles sont légèrement plus courtes
- Même à son maximum, cet effet ne modifie la durée du jour que d’environ 10 secondes
- Les régions situées sur ou très près du cercle polaire constituent toutefois une exception
Code de calcul
- Le code utilisé pour générer les figures se trouve dans ce notebook Jupyter
1 commentaires
Avis sur Hacker News
L’auteur n’en a pris conscience qu’après un stand-up avec un collègue norvégien, ce qui l’a poussé à écrire ce billet, mais en tant que musulman, je le ressens chaque année pendant le ramadan.
Cette année, le premier jour du ramadan était le 1er mars, et là où je me trouve, près de Los Angeles, cela représentait 12 h 45 de jeûne, de la première lueur de l’aube jusqu’au coucher du soleil. Aujourd’hui, c’est 13 h 15, et vers le dernier jour du ramadan, fin mars, ce sera 13 h 37.
Le ramadan suit un calendrier lunaire, environ 10 jours plus court que le calendrier solaire ; dans l’hémisphère Nord, les ramadans d’hiver sont donc courts et faciles, les jours les plus courts arriveront en 2031, et en 2047 ce sera le plein été, donc la période la plus difficile.
Dans les endroits où le soleil ne se couche pas, les interprétations divergent sur l’heure du suhoor et de l’iftar, mais on suit généralement les heures de lever et de coucher du soleil d’une région de référence plus réaliste. Il y a quelques années, mon beau-frère qui vivait en Suède se basait sur l’heure de La Mecque.
Je les ai suppliés plusieurs fois soit d’en vendre toute l’année, soit au moins de me donner la recette.
En vivant à Stockholm, j’ai appris à apprécier les différentes phases du crépuscule et de l’obscurité, plutôt qu’à séparer strictement le jour et la nuit.
La façon dont le soleil, bas près de l’horizon, diffuse sa lumière dans tout le ciel est aussi très belle, et cela dure beaucoup plus longtemps que les levers et couchers de soleil dans l’Australie où j’ai grandi.
Comme j’étais habitué à pouvoir lire dehors à 23 h en été, il m’a semblé vraiment étrange d’être dans la chaleur tropicale et de voir la nuit tomber complètement à 18 h.
Je suis originaire de São Paulo, au Brésil, et le tropique du Capricorne traverse presque la ville. Le lever et le coucher du soleil y sont des événements très rapides : même en s’asseyant pour les regarder, en une trentaine de minutes c’est terminé, puis il fait vite noir.
Même après plus de dix ans en Suède, je reste fasciné par les longs levers et couchers de soleil d’ici. On peut voir les couleurs, les ombres et les formes changer pendant des heures, et l’une de mes activités préférées en été est de manger et boire avec des amis au bord d’un lac en regardant ce crépuscule interminable.
C’est ainsi qu’apparaissent, selon la saison, des expressions comme « 8 de la tarde » (20 h, l’après-midi) ou « 6 de la noche » (18 h, le soir/la nuit).
Dans la région d’Australie où je vis, il fait clair jusqu’à 22 h au solstice d’été, et au solstice d’hiver, il n’y a presque pas de soleil digne de ce nom.
Le fait qu’à l’équateur on soit, toute l’année, assez proche de « lever du soleil à 6 h, coucher du soleil à 18 h » est assez saisissant.
Autre fait qui peut aller contre l’intuition : avec une approximation raisonnable, partout sur Terre reçoit, sur l’ensemble de l’année, le même nombre d’heures de jour.
Vous voulez dire qu’à 20 h, le soleil est encore dans le ciel ?
En gros, dans ces régions, il y a très peu de saisons marquées au sens où beaucoup de gens l’entendent. Il y a des changements, mais l’hiver n’est pas très différent de l’été.
À l’inverse, si l’on regarde Londres[5], Osaka[6], Auckland[7], Los Angeles[8], Seattle[9] ou Oslo[10], la situation est complètement différente. Ces écarts influencent fortement la manière dont les gens pensent la météo, le temps et d’autres choses.
C’est amusant de voir que ce qui est absolument évident et banal pour quelqu’un peut être complètement différent pour quelqu’un d’autre. On oublie souvent qu’on a parfois l’impression de vivre dans des mondes différents — et, d’une certaine manière, c’est réellement le cas.
[0] https://www.timeanddate.com/weather/kenya/nairobi/climate
[1] https://www.timeanddate.com/weather/gabon/libreville/climate
[2] https://www.timeanddate.com/weather/brazil/macapa/climate
[3] https://www.timeanddate.com/weather/ecuador/quito/climate
[4] https://www.timeanddate.com/weather/malaysia/kuching/climate
[5] https://www.timeanddate.com/weather/uk/london/climate
[6] https://www.timeanddate.com/weather/japan/osaka/climate
[7] https://www.timeanddate.com/weather/new-zealand/auckland/climate
[8] https://www.timeanddate.com/weather/usa/los-angeles/climate
[9] https://www.timeanddate.com/weather/usa/seattle/climate
[10] https://www.timeanddate.com/weather/norway/oslo/climate
Une autre chose étonnante avec le soleil équatorial, c’est de le voir au-dessus de sa tête. Là où j’ai grandi, le soleil ne montait jamais à plus de 30 degrés.
Si le soleil se lève presque à la même heure tous les jours, c’est un système qui se tient plutôt bien.
En navigation, en navigation maritime et pour le calcul des marées, il existe une règle empirique pratique appelée règle des douzièmes. Je pense qu’on peut aussi l’utiliser comme modèle mental pour tout ce qui suit un cycle de type sinusoïdal : soleil, saisons, etc.
Si l’on divise la moitié du cycle, c’est-à-dire du maximum au minimum, en unités appropriées comme 6 heures ou 6 mois, alors, lorsqu’on descend depuis le maximum ou qu’on monte depuis le minimum, la variation sur l’axe y pour chaque unité vaut 1/12, 2/12, 3/12, 3/12, 2/12, 1/12 de l’écart total entre le maximum et le minimum.
Pour nous, les maximum et minimum sont le 21 juin et le 21 décembre, et l’unité sur l’axe x est le mois. Si l’on suppose que l’écart entre la durée maximale et minimale du jour est de 2 heures, alors 1/12 vaut 10 minutes.
Donc, à la fin mars, nous sommes au milieu de la période où la durée diminue ou augmente le plus vite : le jour s’allonge de 30 minutes par mois, et le coucher du soleil recule d’environ 1 minute chaque jour.
Référence : https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_twelfths, le schéma l’explique beaucoup mieux.
J’avais aussi remarqué que, lorsqu’on se rapproche du cercle polaire arctique, la durée du jour semble former un zigzag qui monte directement du solstice d’hiver au solstice d’été, puis redescend, et je me demandais si ces lignes étaient vraiment droites.
Je pensais qu’on pourrait peut-être le démontrer simplement avec des identités trigonométriques, mais ce n’est pas le cas. Même en ignorant la réfraction atmosphérique, les lignes ne sont pas exactement droites ; c’est seulement une très bonne approximation.
La durée du jour calculée sous-estime assez fortement la lumière réelle aux hautes ou basses latitudes. Par exemple, à 60° de latitude, une nuit de plein été dure nominalement environ 4 heures, mais même si le disque solaire n’est pas visible, la lumière est si forte qu’il ne fait pas vraiment sombre.
Si l’on remplace ces 50 minutes d’arc par 6 degrés, on obtient le « crépuscule civil », c’est-à-dire, en gros, la période où l’on n’a pas besoin d’éclairage à l’extérieur. En plein été à 60° de latitude nord, la hauteur minimale du Soleil est d’environ -6,5°, donc presque toute la nuit nominale correspond au crépuscule civil.
12° correspond au « crépuscule nautique », période pendant laquelle l’horizon reste nettement visible, et 18° au « crépuscule astronomique », quand le ciel est suffisamment sombre pour toutes les observations astronomiques.
Il est aussi possible que ces valeurs soient définies comme 6° + 50 minutes d’arc.
Dans mon cas, X est une valeur « mobile » : en hiver, elle se situe au tiers du chemin entre le coucher du soleil à 0° et le crépuscule civil à -6°, et en été elle monte jusqu’aux deux tiers. Je la calcule comme le moment où les stores se baissent.
Pour ce calcul, j’utilise https://astral.readthedocs.io.
Le crépuscule civil dure près de 5 heures, et pour moi le crépuscule civil reste du jour.
Je viens d’Islande, donc d’une latitude d’environ 64,15°. La forme extrême du graphique décrit assez bien la façon dont l’humeur des gens monte et descend tout au long de l’année.
Autour du solstice d’été, les gens deviennent presque maniaques, à profiter du jour sans fin et à essayer de tirer le maximum de chaque journée. À l’approche du solstice d’hiver, tout devient plus calme, et parfois un peu déprimant.
Les jours les plus courts de l’hiver sont particulièrement difficiles à vivre, mais l’été est tellement incroyable qu’au final on a l’impression que ça en vaut la peine.
Dans le nord de la Finlande, les extrêmes saisonniers de durée du jour sont si importants que l’alternance nuit/jour ressemble moins à un cycle de 24 heures qu’à un cycle de 365 jours.
Résultat, un enfant de cinq ans peut ne pas voir de ciel sombre de tout l’été, sauf s’il reste éveillé tard à cause des rassemblements traditionnels du solstice d’été.
Je viens du centre de la Suède, et je me souviens avoir été surpris, la première fois que j’ai passé une nuit de solstice d’été à Lund, dans le sud, de constater que la nuit y était réellement sombre.
Ma ville natale est pourtant bien au sud du cercle polaire, mais en juin, c’est encore presque un jour permanent.
La nuit, je laisse mon iPhone en mode veille avec une carte du monde affichant la zone de jour comme une sinusoïde.
C’était amusant de voir la forme de la zone de jour se rapprocher progressivement du haut de la carte, puis, après l’équinoxe de printemps, traverser le haut de la carte et prendre une forme inversée pendant les six mois suivants.
En observant pendant un an l’évolution de la forme de la zone éclairée par le Soleil sur la carte, j’ai beaucoup mieux compris ce qu’est un équinoxe, pourquoi la durée du jour change, et où nous nous trouvons dans le système solaire.