Un nouveau tétraèdre en forme de pyramide retombe toujours sur la même face
(quantamagazine.org)- Des mathématiciens ont fabriqué un tétraèdre monostable (monostable tetrahedron) sous forme d’objet réel, confirmant physiquement un problème d’équilibre en trois dimensions posé en 1966 par John Conway et Richard Guy
- Cette forme est un tétraèdre à quatre faces triangulaires, mais son centre de masse est ajusté de sorte que, posée sur n’importe quelle autre face, elle bascule et retombe sur une seule face stable
- En 2023, Gábor Domokos, Gergő Almádi, Krisztina Regős et Robert Dawson en ont démontré la possibilité théorique, et un nouveau preprint présente un modèle fonctionnel de 120 g, avec une arête maximale de 50 cm
- Sa fabrication utilise une structure creuse en fibre de carbone et du carbure de tungstène à haute densité ; pour fonctionner, les tolérances sur la masse et les dimensions doivent rester respectivement dans les 0,1 g et 0,1 mm
- Cela montre que, dans les problèmes d’équilibre des polyèdres, la fabrication et l’expérimentation réelles peuvent faire émerger de nouvelles questions, et pourrait aussi être relié à la conception d’un atterrisseur lunaire capable de se redresser tout seul après être tombé
Un tétraèdre stable sur une seule face
- Le tétraèdre (tetrahedron) est le plus simple des solides de Platon, avec quatre faces triangulaires
- En 1966, John Conway et Richard Guy ont demandé si un tétraèdre fait d’un matériau uniforme pouvait tenir de manière stable sur une seule face
- Quelques années plus tard, ils ont conclu qu’un tétraèdre monostable à répartition uniforme du poids était impossible
- Le problème est ensuite resté ouvert dans le cas où le poids n’a pas besoin d’être réparti uniformément, et certains mathématiciens se souviennent que Conway anticipait l’existence d’un tel tétraèdre
- Si Conway possédait une preuve de cette conjecture en trois dimensions, il ne l’a pas rendue publique
Du gömböc aux polyèdres pointus
- Gábor Domokos est un mathématicien de la Budapest University of Technology and Economics qui s’intéresse depuis longtemps aux problèmes d’équilibre
- En 2006, Domokos et un collègue ont découvert une forme appelée gömböc
- Le gömböc ne peut être en équilibre qu’en deux points au total : un point stable et un point instable
- Si on le pose ailleurs, il roule jusqu’à se tenir sur le point stable
- Le gömböc est une forme partiellement arrondie, comme un jouet roly-poly
- Domokos voulait savoir si des propriétés similaires étaient possibles aussi pour un polyèdre (polyhedron) doté d’arêtes vives et de faces planes
- Dávid Papp estimait que placer un poids en bas fonctionne pour les formes lisses ou arrondies, mais qu’il est difficile de concevoir un polyèdre à arêtes vives et faces planes qui bascule toujours sur la même face
Les conditions trouvées par une recherche informatique
- En 2022, Gergő Almádi, alors étudiant de licence, a suivi un cours de mécanique de Domokos et a reçu pour devoir de créer un algorithme simple explorant l’équilibre des tétraèdres
- À l’époque où Conway avait posé le problème, il fallait s’appuyer sur le raisonnement mathématique abstrait et les calculs à la main, mais Almádi a pu explorer par force brute de nombreuses formes candidates avec un ordinateur
- Le programme d’Almádi trouvait, pour une répartition donnée du poids, les coordonnées des quatre sommets d’un tétraèdre susceptible d’être monostable
- L’équipe a constaté que, dans tous les tétraèdres monostables, trois arêtes consécutives devaient former des angles obtus supérieurs à 90 degrés
- Cette condition fait qu’une face chevauche une autre face, permettant à la forme de basculer
- L’équipe a ensuite montré qu’un tétraèdre présentant cette caractéristique peut tenir en équilibre stable sur une seule face lorsque son centre de masse se trouve dans l’une des loading zones, quatre petites régions tétraédriques à l’intérieur de la forme d’origine
L’écart entre possibilité mathématique et fabrication réelle
- En mathématiques abstraites, on peut définir librement des parties sans masse et des parties extrêmement lourdes, ce qui facilite l’ajustement de la répartition de masse
- Almádi, Dawson et Domokos voulaient fabriquer, avec des matériaux réels, un tétraèdre monostable que l’on puisse tenir en main
- L’équipe a examiné plusieurs falling patterns selon lesquels le tétraèdre tombe vers sa face stable
- Dans un des schémas, une partie spécifique aurait dû être faite d’un matériau environ 1,5 fois plus dense que le cœur du Soleil
- Ils ont choisi un schéma plus réaliste, mais certaines parties devaient tout de même être environ 5 000 fois plus denses que le reste
- Le choix des matériaux était également très contraint
- Un matériau léger et flexible pouvait déformer la forme
- Si la forme était arrondie ou lisse, il devenait plus facile d’obtenir une monostabilité façon roly-poly, ce qui ne correspondait pas à l’objectif d’un polyèdre aux arêtes vives
Un modèle en fibre de carbone et carbure de tungstène
- La conception finale était en grande partie creuse
- Les parties légères ont été réalisées avec un cadre en fibre de carbone (carbon fiber frame), tandis que les petites parties à haute densité étaient en carbure de tungstène (tungsten carbide), plus dense que le plomb
- Pour réduire au maximum le poids des parties légères, le cadre en fibre de carbone devait lui aussi être creux
- Domokos a confié la fabrication à une entreprise d’ingénierie de précision hongroise
- Le processus de fabrication devait être assez précis pour tenir compte jusqu’au poids de petites quantités de colle
- Le premier modèle, réalisé au bout de plusieurs mois et pour plusieurs milliers d’euros, ne fonctionnait pas
- Domokos et l’ingénieur en chef ont découvert un surplus de colle collé à un sommet ; après l’avoir retiré, le modèle a fonctionné
- Le premier modèle physique fonctionnel du nouveau preprint pèse 120 g, avec une arête maximale de 50 cm, et ses tolérances étaient de l’ordre de 0,1 g pour la masse et 0,1 mm pour la longueur
Recherche mathématique et applications d’ingénierie
- Richard Schwartz considère que les travaux sur le tétraèdre monostable n’exigeaient pas de mathématiques particulièrement sophistiquées, mais que le simple fait de poser ce type de question est important
- On ne sait pas encore clairement quels nouveaux éclairages théoriques ce modèle physique pourra apporter
- Toutefois, le fait d’expérimenter concrètement peut aider à trouver de nouvelles questions que les mathématiciens peuvent poser à propos des polyèdres
- Domokos et Almádi travaillent à appliquer les connaissances acquises lors de la fabrication à la conception d’un atterrisseur lunaire (lunar lander) capable de se redresser tout seul lorsqu’il est tombé
- Schwartz estime que, surtout en géométrie, raisonner dans l’espace est difficile et peut entraîner des erreurs, si bien que voir les choses concrètement peut être important même en mathématiques théoriques
2 commentaires
C’est fascinant de voir qu’il se redresse tout seul et retrouve sa forme initiale, même lorsqu’on le pose sur une autre face.
Est-ce à cause de la différence de centre de gravité ?
Avis sur Hacker News
L’article indique que la réalisation physique était un défi, et qu’un modèle fabriqué par le second auteur avec une feuille de plomb et du bambou finement fendu roulait successivement d’une face à deux autres avant d’atteindre sa position stable finale.
J’ai ce modèle. Je l’ai fabriqué avec Bob Dawson quand nous étions à Cambridge, et je devrais probablement le contacter.
Article : https://arxiv.org/abs/2506.19244
HTML : https://arxiv.org/html/2506.19244v1
Ici, ce qui fait réellement le travail, c’est un centre de masse fortement manipulé, donc l’appeler une « forme » est discutable. Il vaudrait mieux parler d’objet ou de corps rigide.
Sinon, le poids le plaquerait au sol au lieu de le faire basculer. La raison pour laquelle il penche d’abord vers l’arrière avant de basculer sur le côté dans une direction, c’est aussi que le centre de masse se trouve à l’intérieur de l’empreinte de l’arête droite du tétraèdre, mais à l’extérieur par rapport à l’arête arrière. Il bascule donc vers l’arrière, ce qui rétrécit la base, puis il bascule vers la droite et devient stable.
Ce n’est pas du tout dans la même catégorie qu’un Gömböc. La densité n’est pas uniforme, et l’essentiel de la masse est concentré dans la plaque du bas.
Si l’on place le centre de masse au même endroit, il se comportera de la même manière.
Ce genre de trajectoire, où Conway lance une idée comme ça et où quelqu’un la réalise vraiment 60 ans plus tard, c’est le sommet des histoires de maths.
Le pire D-4 qui soit ! Plus sérieusement, je me demande jusqu’où on peut aller, avec un polyèdre à masse non uniforme, vers un état du type « en équilibre sur le fil du rasoir ».
Autrement dit, fabriquer un polyèdre dont la répartition du poids n’est pas uniforme et qui est stable sur exactement deux faces, l’une étant beaucoup plus stable que l’autre, de sorte que si on le pose sur la face faiblement stable et qu’on le touche, il bascule vers la face très stable. Ce genre de structure pourrait être utile comme détecteur de perturbation.
Curieusement, il n’a pas aimé ma suggestion d’acheter plutôt une boule de billard n° 1.
https://www.uline.com/Cls_10/Damage-Indicators
https://www.youtube.com/watch?v=M9hHHt-S9kY
Il existe aussi un polyèdre mono-monostatic à 21 faces : https://arxiv.org/pdf/2103.13727v2
Cela dit, la tige ferait beaucoup de bruit en tombant et rebondirait plusieurs fois. Je me demande s’il existe un polyèdre bistable dont la transition serait assez douce pour ne pas rebondir. Le Gömböc original semblait avoir un centre de masse qui varie assez progressivement pour ne pas rebondir sous une gravité normale.
Bon article.
Au début, en voyant la vidéo et la plaque ou le poids ajouté sur une face, mon intérêt a un peu baissé. C’était à cause de la progression : « Quelques années plus tard, les deux chercheurs ont eux-mêmes répondu qu’un tétraèdre monostable uniforme était impossible. Et si l’on n’était pas obligé de répartir le poids uniformément ? » Mais plus loin, quand John Conway est apparu, j’ai de nouveau accroché.
Il suffirait peut-être de donner cette forme aux atterrisseurs lunaires :-)
En revanche, un exosquelette pour tortues serait peut-être plus utile. Les tortues à pattes courtes ont besoin que le dessous de leur carapace soit parfaitement plat, alors qu’un Gömböc n’a aucune face plane. Les véhicules roulant sur des pentes pourraient aussi tirer parti de cette propriété.
Donc, c’est comme mes Vans ?
https://en.wikipedia.org/wiki/Vans_challenge
Ce qui m’impressionne le plus, c’est qu’un objet qui semble déséquilibré soit en réalité très stable. Cette forme oblige à repenser le sens de l’équilibre.
Ce n’est pas seulement une question de forces qui s’égalisent ; on a presque l’impression qu’elle sait à chaque fois sur quelle face elle veut atterrir.