Tout le monde peut penser mathématiquement et en tirer les bénéfices
(quantamagazine.org)- Le mathématicien David Bessis voit les mathématiques non comme une manipulation de symboles, mais comme un dialogue entre intuition et logique ; les gens pratiquent déjà ce type de pensée dans la vie quotidienne
- Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity relie les mathématiques à l’expérience intérieure humaine en montrant ce qui se passe dans la tête d’un mathématicien
- Les cas de Bill Thurston, Alexander Grothendieck et René Descartes appuient l’idée que l’aptitude mathématique relève moins d’une essence innée que d’un entraînement à questionner et affiner son intuition
- Les mathématiques scolaires privilégient la logique et le formalisme, mais les gens manipulent déjà des cercles et des nombres dans leur esprit, et ont intériorisé des systèmes numériques abstraits qui leur permettent de faire des mathématiques profondes
- Développer la pensée mathématique peut aller bien au-delà de la résolution de problèmes : cela peut devenir une méthode de développement personnel apportant joie, clarté, confiance, créativité et même un soutien à la vie émotionnelle
Les mathématiques ressemblent davantage à un processus invisible qu’à des symboles visibles
- Si David Bessis a été attiré par les mathématiques, c’est pour une raison proche de celle qui pousse beaucoup de gens à s’en éloigner
- La musique s’entend, la peinture se voit, mais les mathématiques relèvent pour l’essentiel d’un processus intérieur, peu visible de l’extérieur
- C’est dans ce processus invisible qu’il trouve une forme de fascination presque magique
- À la fin des années 1990, Bessis a préparé un doctorat de mathématiques à l’université Paris Diderot, puis a consacré environ dix ans à la théorie géométrique des groupes
- En 2010, il a quitté la recherche mathématique pour créer une startup de machine learning
- Il ne s’est pas arrêté à la résolution de problèmes : il a continué à se demander comment les mathématiciens pensent et travaillent réellement
Ce que Mathematica dit de la pensée mathématique
- En 2022, Bessis a publié Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity
- un livre qui tente d’expliquer ce qui se passe dans le cerveau de quelqu’un qui fait des mathématiques
- tout en abordant l’expérience intérieure humaine
- l’édition originale en français a été traduite en anglais en 2024
- Son idée centrale est que les gens font constamment des mathématiques, même sans en avoir conscience
- Bessis estime que les gens peuvent étendre leurs capacités mathématiques bien au-delà de ce qu’ils imaginent
- Même les capacités de mathématiciens comme Bill Thurston ou Alexander Grothendieck sont difficiles à expliquer par le seul génie inné
- ils remettent sans cesse en question leur intuition et la raffinent
- ils produisent de nouvelles idées, puis les vérifient et les améliorent par la logique et le langage
L’aller-retour entre intuition et logique
- Pour Bessis, les mathématiques consistent à faire correspondre des formes externes et des représentations internes
- les représentations internes relèvent de l’intuition
- les représentations externes sont des expressions logiques et formelles
- Les systèmes formels peuvent paraître étranges et rigides, mais ils servent à tester, réajuster et renforcer l’intuition
- Les mathématiques scolaires mettent surtout l’accent sur la partie fondée sur la logique de ce processus
- Bessis considère pourtant que l’intuition est l’élément le plus important
- les mathématiques sont un dialogue entre raison et instinct
- mais aussi entre langage et abstraction
- Il compare les mathématiques à une pratique corporelle qui s’améliore par l’entraînement, comme le yoga ou les arts martiaux
- il faut pouvoir entrer dans un état proche de celui d’un enfant
- et accepter l’imagination ainsi que les erreurs qu’elle produit
Des mathématiques que tout le monde pratique déjà
- Pour Bessis, les gens devraient prendre conscience de leur propre entraînement mathématique
- Chacun peut imaginer un cercle, l’agrandir, le rétrécir ou le déplacer dans sa tête
- cela peut sembler une simple visualisation, mais c’est en réalité une manipulation abstraite
- À la question « si l’on retire 1 à 1 milliard ? », la plupart des gens voient immédiatement la réponse
- il faut parfois réfléchir pour la formuler à voix haute, mais le résultat apparaît déjà mentalement
- même sans perception visuelle, il existe une forte intuition du résultat
- Bessis y voit une intuition mathématique
- Cette capacité n’a pourtant rien eu d’évident historiquement
- selon lui, des personnes utilisant les chiffres romains il y a 2 000 ans n’auraient pas répondu aussi facilement à la même question
- l’arithmétique que les modernes trouvent naturelle est le produit de l’intériorisation d’un système numérique abstrait
- Même des mathématiques qui paraissent faciles sont en réalité profondes, et l’être humain s’est en quelque sorte câblé lui-même pour cela
Le génie est plus un état qu’une essence
- Bessis ne nie pas que certaines personnes soient extrêmement douées en mathématiques
- il note qu’il existe des enfants de 5 ans qui ressemblent déjà à des prodiges
- Mais il ne voit pas cela comme une essence innée
- le génie n’est pas une essence, c’est un état
- un état qui se construit à travers certaines activités
- Les mathématiques sont un parcours lié à la plasticité
- Cela ne veut pas dire que les mathématiques sont faciles
- Bessis affirme qu’elles sont difficiles
- mais il estime aussi que, dans la vie, quoi qu’on fasse, c’est très difficile
- À la question de savoir s’il est possible de faire des mathématiques comme Thurston, il répond négativement
- Thurston a laissé des descriptions détaillées montrant qu’il avait choisi très jeune de pratiquer chaque jour cette autoformation
- Bessis ne pense pas pouvoir atteindre ce niveau
- Si tant de lycéens vivent mal les mathématiques, c’est notamment parce qu’ils croient qu’il faut disposer d’une aptitude innée qu’ils n’auraient pas
- alors qu’en réalité, les mathématiques reposent selon lui sur le même type de capacités intuitives que celles mobilisées au quotidien
Comment développer la pensée mathématique
- Quand un décalage apparaît entre une intuition et ce qui semble rationnellement correct, cela devient une occasion de comprendre quelque chose de nouveau
- C’est là que peut commencer le va-et-vient
- vérifier si l’on peut exprimer son intuition avec des mots
- voir si on peut l’inscrire dans une discussion rationnelle
- et, s’il reste un écart, essayer de visualiser pourquoi
- À force de répéter ce processus, l’imagination se reconfigure progressivement
- Avec de la persévérance, instinct et raison peuvent s’aligner, et l’on peut devenir plus intelligent
- C’est ce processus que Bessis appelle la pensée mathématique
Les mathématiques comme méthode de développement personnel
- Bessis estime qu’améliorer sa pensée mathématique peut apporter joie, clarté et confiance en soi
- Les enfants vivent ce processus en permanence, ce qui explique qu’ils apprennent si vite
- comme le monde ne leur est pas encore intelligible, ils doivent sans cesse avoir de nouvelles compréhensions
- il considère que les bébés sont heureux parce qu’ils ont des révélations toute la journée
- Chez les adultes, cette manière de penser peut être beaucoup plus lente
- Mais si l’on ne renonce pas, ce que l’intuition permet d’accomplir peut largement dépasser les attentes
- Bessis voit son livre non seulement comme une leçon de vie pour celles et ceux qui veulent apprendre des concepts mathématiques, mais aussi pour toute personne créative
- Au-delà de l’étiquette de simple livre de développement personnel, il considère que les mathématiques elles-mêmes sont une forme de méthode de développement personnel
S’entraîner à l’honnêteté et à la créativité
- Un mathématicien doit être très honnête sur ce qu’il ne comprend pas et sur ce qu’il pense réellement
- Cette honnêteté conduit à différents jugements
- voir qu’un objet est mal défini
- voir qu’une autre définition peut simplifier une théorie
- distinguer les concepts importants de ceux qui ne le sont pas
- Exprimer ce que l’on ressent réellement est très difficile, et cela demande de l’entraînement
- Quand on fait des mathématiques, le processus de pensée humain apparaît sous une forme très pure
- Les mathématiques ne consistent pas seulement à comprendre, mais à s’exercer à comprendre avec la profondeur, la naïveté, la clarté et l’évidence d’un enfant
- Pour Bessis, les mathématiques sont un entraînement à la créativité et un tremplin pour l’imagination
- Il dit que sa capacité à penser mathématiquement l’a aidé à surmonter des difficultés personnelles, et estime que tout le monde a besoin des mathématiques aussi du point de vue émotionnel
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Je partage ce sentiment. Je pense que la culture qui s’obsède sur le talent inné en mathématiques et le génie est nuisible à l’état d’esprit de progression nécessaire pour apprendre quelque chose.
À l’âge adulte, je consolide pas mal mes compétences en maths, et autrefois je pensais que « si c’est difficile, c’est qu’on a déjà atteint sa limite et qu’on perd son temps ». Mais en réalité, c’est presque l’inverse : si c’est facile, c’est peut-être qu’on le sait déjà et qu’on perd son temps.
L’auteur du livre a simplement choisi les maths qui l’intéressaient, mais ce principe s’applique en fait à tous les domaines. Certaines personnes semblent avoir un talent inné, mais j’y vois le plus souvent plutôt une capacité à se focaliser de manière intense sur un sujet, qu’il s’agisse de maths, de Star Trek, de dinosaures ou de vieux jeux de consoles des années 1980.
Convaincre les enfants que certains de leurs camarades sont simplement « nés comme ça », c’est saper leur volonté de continuer à essayer. Ce qu’il faut enseigner aux enfants, c’est comment apprendre ; autrement dit, « si vous enseignez les maths, ils apprendront les maths, mais si vous enseignez comment apprendre, ils apprendront n’importe quoi ».
Il est vrai que les maths demandent des efforts, et qu’il faut aussi un certain bagage préalable pour que la compréhension s’emboîte correctement. Mais une attitude du type « X est laissé en exercice au lecteur » relève d’un état d’esprit qui prend plaisir à rendre la vie du lecteur difficile sans aucune raison.
Dans ce qu’on appelle souvent la « tour d’ivoire », l’élément de tour fonctionne aussi comme un dispositif d’autopromotion et d’autodéfense. Il vend l’idée que « notre rôle est indispensable, et quiconque veut savoir quelque chose doit nécessairement passer par nous pour atteindre son objectif ».
Par exemple, l’algèbre linéaire existe depuis des décennies, et pourtant les supports de cours, du niveau débutant au niveau avancé, ont souvent été excessivement obscurs et difficiles à déchiffrer. Puis, quand le machine learning a décollé, les ressources expliquant clairement et comme si c’était trivial des sujets avancés comme la réduction de dimension et la décomposition en sous-espaces se sont soudain multipliées. La seule chose qui avait changé, c’était le type de personnes qui traitaient le sujet.
J’ai enseigné les maths à des étudiants en psychologie, et il y avait des cas où ils ne comprenaient vraiment pas. Je me souviens aussi de la frustration du directeur de département face à la question « c’est quoi une racine carrée ? ». On ne peut pas simplement dire qu’ils en avaient tous la capacité et que c’était « la faute de l’enseignant » ; il faut aussi expliquer la différence entre les étudiants qui peinaient et ceux qui y arrivaient facilement.
Il en va de même pour la musique. Même lorsque les étudiants de conservatoire travaillent dur, certains sont meilleurs, et une infime minorité brille vraiment. J’ai du mal à croire à l’affirmation « tout le monde peut jouer Rachmaninov ». À moins de placer la barre de la capacité mathématique assez bas, ou de disposer de preuves solides, dire que « tout le monde peut y arriver » a un parfum de foutaise.
Le travail quotidien permet parfois de maintenir des compétences faciles, mais s’il s’agit d’une compétence qu’on n’a pas utilisée depuis un moment, ce n’est pas une mauvaise idée de faire quelques répétitions simples avant de la combiner avec d’autres compétences de manière plus difficile.
Je suis en train de lire le livre de l’auteur, Mathematica, et il est vraiment excellent. Le titre de cet article ne rend pas vraiment justice aux qualités du livre
L’auteur montre que l’aptitude en maths ressemble moins à un talent de connaissance qu’à un talent sportif. Selon lui, c’est parce qu’il faut apprendre à manipuler des objets mathématiques dans sa tête, comme des formes pivotées, des machines à sous ou de l’origami. Une sorte de sport de l’imagination
Grâce à cela, je réapprends beaucoup de maths de base sur MathAcademy.com, et c’est très amusant, mais aussi stressant. J’ai maintenant l’impression d’avoir un effet Tetris avec les polynômes
Quand on est immergé, chaque fonction semble avoir sa propre forme et sa propre ambiance. On voit des petites fonctions-boîtes bien propres, de grosses fonctions moches comme des oursins furieux, de petits cercles inutiles qui ne font rien, et on se note de les supprimer plus tard. Tout le graphe semble relié, dans une certaine mesure, par la façon dont les données circulent
Je me demande aussi si MathAcademy vaut le coup. J’envisage de l’essayer pendant environ un mois, mais je ne sais pas si le mot « stressant » était une faute de frappe ou non
J’ai commandé Mathematica à la bibliothèque municipale, et je n’ai plus qu’à l’oublier jusqu’à ce qu’un SMS d’arrivée finisse par tomber. Merci d’avoir confirmé que ça vaut la peine de le lire
Si le livre est meilleur sur ce point, j’aimerais le lire ; s’il contient surtout des histoires et du remplissage, je préfère passer mon tour. Je suis curieux de savoir ce que vous en retirez concrètement, et à quel point cela vous paraît pratique et applicable
Si les maths paraissent difficiles, c’est parce que les gens ont du mal à garder en tête de longues chaînes de manipulations. C’est particulièrement vrai quand il faut manipuler de grands objets qui changent progressivement sur des centaines d’étapes, et ce n’est pas une insuffisance des personnes : c’est simplement ainsi que fonctionne l’esprit humain
Il vaut mieux enseigner les maths comme un ensemble d’axiomes de base et de règles de manipulation, puis montrer comment on déroule ces axiomes avec ces règles. Il faut apprendre à faire une modification valide à la fois, ce qui demande forcément beaucoup de travail sur papier et de patience. Les maths consistent à produire de nouvelles vérités et de nouvelles règles à partir de vérités et de règles
J’enseigne cela ainsi à mon enfant, qui réagit souvent par : « C’est tout ? C’est juste du travail laborieux sur papier ? » En ce moment, il utilise cette méthode avec l’aide de LLM pour apprendre les algorithmes et structures de données. En partant des conditions de base et en construisant dessus, même les algorithmes qui semblaient relever d’un domaine d’invention nouvelle émergent naturellement des étapes manuelles qu’il a effectuées, puis il les transpose en programme
Si l’on retire tout le superflu, il ne reste dans les maths que patience et travail sur papier
Je considère que la formalisation prématurée est la principale raison pour laquelle les gens se sentent exclus des mathématiques et ont l’impression d’être manipulés. Réduire les concepts à des symboles et à leur manipulation devrait venir plus tard ; les présenter ainsi dès le départ est une erreur.
Les gens devraient d’abord pouvoir s’exprimer en langage naturel simple. Aux mathématiciens qui disent que « l’anglais n’est pas assez précis », j’ai envie de répondre d’aller se faire voir. Il faut apprendre à marcher avant de courir.
Les exemples qui donnent envie devraient venir avant la méthode mathématique, et les formules comme les démonstrations devraient être en annexe, pas à la page 1. Ici, « anglais » signifie langage naturel.
Les personnes qui ne travaillent pas dans des domaines proches des STEM n’ont guère d’usage, au-delà de l’algèbre et de la géométrie simples, et de quelques notions et formules liées à la finance. La géométrie sert surtout pour les loisirs de bricolage ou les projets de réparation à la maison.
À ce rythme, je ne pense pas trouver de raison de faire une intégrale avant ma mort. Donc même si j’essaie de me remettre aux maths, un besoin réel ne me motive pas. Sans applications, les seules choses qui ne soient pas ennuyeuses sont plutôt les problèmes de maths récréatives, mais même là, je me dis souvent que je ferais mieux de lire un livre ou de faire autre chose.
Beaucoup d’élèves, moi au moins, ne se sont vraiment intéressés aux maths qu’en découvrant les démonstrations en géométrie au lycée, puis les applications concrètes en physique au lycée. Le fait que les maths puissent être une manière d’aller d’une vérité à une autre pour en trouver de nouvelles m’a semblé être une révélation.
Malheureusement, beaucoup d’élèves décrochent avant cela à cause de l’ennui des exercices répétitifs sans fin. Une fois que des lacunes apparaissent, il devient difficile de progresser tant qu’on ne les comble pas. Pour beaucoup d’élèves, ça s’arrête aux fractions ; pour d’autres, à l’algèbre ; et pour ceux qui vont à l’université, au calcul différentiel et intégral.
Seuls les étudiants en maths et une partie de ceux en ingénierie, sciences ou informatique dépassent le « cursus standard de maths » à l’université, et découvrent les choses vraiment intéressantes qui viennent après.
Le péché des mathématiques modernes est que ce métalangage n’est pas assez bien défini, au point qu’il faut une tour logicielle pour le manipuler sans contradiction. Tout réécrire en S-expressions, puis y adjoindre un système de réécriture de termes pour les preuves sous calcul séquentiel, serait un excellent premier pas pour améliorer l’accessibilité.
Si vous voulez voir non pas de quoi parlent les mathématiques, mais comment elles en parlent, faites de la philatélie.
Ayant étudié les maths jusqu’au niveau master/doctorat, j’ai trouvé les maths du lycée et la plupart des matières vraiment ennuyeuses. Ce qui manque dans l’enseignement primaire et secondaire, c’est le contexte, et c’est ce qui le rend ennuyeux. Si les maths étaient faciles, ce n’est pas parce que j’étais particulièrement doué, mais parce qu’il suffisait de suivre aveuglément des formules et d’appliquer une logique de base.
La plupart des maths au niveau primaire et secondaire relèvent de la logique de base ; quand quelqu’un ayant reçu ce niveau d’éducation dit « je suis nul en maths » ou « je ne comprends pas les maths », cela signifie qu’il lui manque des capacités très élémentaires de logique et de raisonnement.
Les maths doivent être enseignées dans un contexte, pas seulement par leurs applications. Il faut enrichir l’expérience de raisonnement et d’exploration, inclure des applications, mais ne pas les y enfermer. Parfois, il faut simplement apprendre et réfléchir, sans être contraint par des critères d’application arbitraires.
Je n’aime pas les manuels récents, trop calibrés pour la satisfaction immédiate. Ils ne montrent pas comment construire une solution ; ils disent directement comment résoudre le problème. Même s’ils expliquent un peu plus tard pourquoi ça marche, l’ordre me semble complètement inversé. Ils vous privent de l’occasion de ruminer par vous-même, d’anticiper comment tout finira par s’assembler, et d’avoir des moments « eurêka » en chemin.
Cette approche renforce aussi la tendance à réduire les maths à de la manipulation de symboles. Si l’on donne la formule dès le premier paragraphe, toute l’explication qui suit reste fixée sur elle. La notation mathématique est à son meilleur comme outil de formalisation et aide-mémoire pour consolider un concept déjà compris dans une certaine mesure ; elle est à son pire quand elle sert de principal canal de communication.
C’est un bon sentiment, mais il est aussi évident que beaucoup de gens n’apprennent même pas les bases de la pensée mathématique et se retrouvent très désemparés. Je me demande s’il existe des recherches scientifiques pour étayer l’idée qu’ils pourraient l’apprendre facilement, ou si l’on invente simplement un argument égalitariste qui irait bien dans un livre de vulgarisation des maths.
L’intelligence générale semble elle aussi suivre une tendance à la baisse depuis les années 1970. C’est ce qu’on appelle l’effet Flynn inversé[3], mesuré aux États-Unis et en Europe
Il est vrai que le système éducatif et d’autres facteurs jouent un rôle, mais je pense que l’idée selon laquelle « tout le monde peut faire X » est fausse et nuisible. C’est comme dire « personne n’a besoin de fauteuil roulant » ou « tout le monde voit parfaitement ». Les gens sont différents, et beaucoup de nerds ne fréquentent que d’autres nerds, ce qui déforme leur perception de la société
[1]: https://www.thenationalliteracyinstitute.com/post/literacy-s...
[2]: https://leo.blogs.uni-hamburg.de
[3]: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016028962...
Il existe un très grand écart entre ce qui est théoriquement possible pour une personne et ce qu’elle accomplit réellement
Je ne suis pas professeur de mathématiques, mais j’aime les maths et j’ai aidé à plusieurs reprises des membres de ma famille et des amis dans leurs cours de maths
Je pense depuis longtemps que presque tout le monde a la capacité d’apprendre les mathématiques à peu près au niveau lycée. Simplement, certaines personnes doivent fournir plus d’efforts. La clé pour maintenir un effort durable, c’est la motivation, et beaucoup de gens qui détestent les maths ou ont fini par penser qu’ils sont nuls n’ont tout simplement jamais trouvé la bonne motivation
Une fois que la motivation est là, que le contenu commence à être compris et qu’on arrive à résoudre des problèmes, cela devient beaucoup plus facile. Personnellement, j’ai l’impression que l’apprentissage de mathématiques d’un niveau un peu plus élevé, allant notamment jusqu’à l’induction et aux démonstrations de bas niveau, a amélioré ma façon de penser aussi dans des domaines hors des maths
En aidant ma famille et mes amis, j’ai aussi appris que les approches permettant de commencer à comprendre un nouveau contenu peuvent beaucoup varier selon les personnes. Certaines abordent plus facilement les choses sous l’angle de la géométrie ou des graphes, tandis que d’autres s’en sortent mieux en entrant très tôt dans les formules. Une seule méthode ne convient pas à tout le monde
D’un point de vue pédagogique, je pense que le principal obstacle auquel la plupart des gens se heurtent en mathématiques n’est pas la complexité, mais la manière aride dont elles sont enseignées. Les règles linguistiques sont au moins aussi complexes, pourtant beaucoup plus de gens acquièrent des compétences linguistiques de niveau lycée. Les raisons sont nombreuses, et la plus évidente est que la langue est beaucoup plus utilisée au quotidien
Je ne peux absolument pas me qualifier de mathématicien sérieux, mais au cours des dernières années où j’ai pris cet objectif au sérieux, j’ai appris bien plus que pendant les décennies où je m’étais mis à l’écart en me jugeant inférieur
L’un des mentors très généreux qui m’a poussé, même de force, à essayer, m’a dit ceci : « Il n’y a pas de mauvais élèves en maths. Il n’y a que de mauvais professeurs de maths, et eux aussi ont eu de mauvais professeurs de maths »
Quand on rencontre trop de gens comme ça, et si ce genre de personnes est courant dans le domaine, on comprend facilement pourquoi les gens perdent leur motivation et abandonnent
À un moment du parcours scolaire, beaucoup de jeunes sont exposés à la pensée mathématique abstraite, mais finissent par ne pas la comprendre et décrochent. C’est dommage que les choses déraillent là, puis que l’écart se creuse ensuite
Manipuler des symboles et des équations devrait sembler accessible à un public plus large. C’est presque une activité ludique, cela ne devrait donc pas donner un sentiment d’exclusion
C’est peut-être un échec des éducateurs, qui ne parviennent pas à identifier correctement les chemins permettant au cerveau d’accepter des représentations et des modes de manipulation plus abstraits
Au passage, les mathématiciens ne semblent pas très intéressés par la résolution de ce problème, et beaucoup semblent éprouver un plaisir puéril à rendre les maths aussi exclusives que possible. Par exemple, certains rejettent les représentations visuelles au motif qu’elles sont imprécises, alors qu’elles aident pourtant à construire l’intuition
La factorisation a aussi fait décrocher beaucoup de gens dans ma classe. Elle paraissait totalement inutile, et le fait que le processus implique beaucoup de devinettes était très frustrant ; certains camarades ont réagi comme si on leur avait demandé de creuser un fossé à la cuillère puis de le reboucher : « alors les maths, plus jamais »
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Do_Not_Erase:_Mathematicians_a...
À mon avis, le problème est que la plupart des gens n’arrivent jamais jusqu’aux parties intéressantes. Je me souviens qu’à l’université, je n’aimais pas vraiment les maths avant d’apprendre la théorie des ensembles au premier semestre, de définir les systèmes de nombres depuis le début, puis de passer aux monoïdes, groupes, anneaux, etc.
Ce fait de définir depuis le début était vraiment satisfaisant
Cela a pris du temps, mais ça va beaucoup mieux maintenant. J’en suis venu à le voir comme un petit jeu dont on connaît plus ou moins les règles. Désormais, j’admets que les mathématiciens s’inquiètent souvent de l’abstraction maximale ou de cas limites bizarres et pathologiques. Grâce à cela, je peux naviguer dans la complexité sans me sentir aussi submergé qu’avant
Une fois qu’on a compris quelque chose, il est vraiment difficile de revenir à l’état d’esprit de quelqu’un qui ne comprend pas, et de trouver l’explication qui fera que l’idée « clique ». Beaucoup de maths sont bien plus faciles qu’elles n’en ont l’air, mais il manque souvent l’explication qui permet de saisir facilement l’idée centrale
Par exemple, j’avais envie d’écrire un explorable[0] expliquant la notation positionnelle dans une base entière quelconque, d’une façon qu’un enfant sachant lire l’heure pourrait suivre. On pourrait probablement enseigner la multiplication en même temps
L’idée centrale est d’imaginer un compteur qui ressemble à une horloge analogique. Il a les chiffres de 0 à 9, ainsi que des boutons +1 et -1, et permet de compter de 0 à 9. Si l’on ajoute 1 à 9, il revient à 0 ; pour résoudre cela, on ajoute un deuxième compteur. Chaque fois que le premier compteur fait un tour complet, on augmente le deuxième compteur de 1. Comme un tour du premier compteur correspond à 10 pas, un pas du deuxième compteur signifie 10 pas. Si l’on veut aussi compter 10 pas sur le deuxième compteur, on en ajoute un troisième
La question naturelle qui suit est alors : que se passe-t-il s’il y a moins de chiffres que de 0 à 9 ? De 0 à 7, c’est l’octal ; avec 0 et 1, c’est le binaire ; pour davantage de chiffres, on ajoute des lettres de l’alphabet, et ainsi de suite
C’est une représentation très physique de la notation positionnelle décimale, qui rend le comptage facile à suivre. On n’a pas besoin de concepts avancés comme la « base » ou les « puissances », mais cela devient une abstraction facile à construire par-dessus plus tard
En demandant à des amis qui ont des enfants, il semble que la plupart lisent l’heure entre 4 et 6 ans, et qu’autour de 8 ans ils savent tous compter jusqu’à 100. En théorie, avec cette approche, ils pourraient déjà comprendre à cet âge l’idée du binaire et de l’hexadécimal
Fait amusant, l’article dit aussi que c’est grâce à la notation positionnelle que presque tous les adultes peuvent répondre instantanément à « combien font un milliard moins un ? »
[0] https://explorabl.es/
https://softwarefoundations.cis.upenn.edu/
Pour les limites et les dérivées aussi, une fois qu’on a les bonnes définitions, on peut déduire assez facilement toutes les formules et tous les théorèmes utilisés au lycée. Au lycée, on faisait surtout du calcul et du raisonnement simple, mais à l’université, on démontrait tout. J’ai aimé ce changement de perspective
J’avais officiellement suivi le prérequis, mais en pratique c’était un cours de logique de base pour l’informatique, donc j’étais complètement dépassé. Pourtant, c’était l’un des cours les plus intéressants que j’aie suivis à l’université
Nous avions reçu le texte exact des questions de l’examen final quelques semaines à l’avance, et nous pouvions nous préparer comme nous voulions, y compris en collaborant avec d’autres étudiants ou en demandant à d’autres professeurs. Les autres professeurs eux-mêmes n’y comprenaient généralement pas grand-chose. L’objectif était de répondre à 1 ou 2 questions sur 10, et même sans y parvenir, on obtenait au minimum B+
J’aimerais avoir une meilleure mémoire, mais je crois que l’une des questions auxquelles j’ai réussi à répondre consistait à prouver le théorème de Post à l’aide d’une machine de Turing. Je n’ai jamais réutilisé les connaissances de ce cours, mais j’y pense encore aujourd’hui. J’aimerais réapprendre ce point de rencontre fascinant entre philosophie et informatique
Ce que j’ai préféré, c’était la combinaison de maths difficiles et de questions métaphysiques obscures sur les maths, celles que beaucoup de praticiens détestent parce qu’ils estiment qu’elles affaiblissent leur travail. Quand on creuse aussi loin, on se rend compte qu’on ne peut pas éviter de toucher à des sujets encore plus prise de tête
Au lycée, on nous entraînait en fait seulement à bien faire des mathématiques appliquées, surtout du calcul infinitésimal. Et même là, l’essentiel consistait à « remplacer dans la formule », une tâche que Mathematica peut facilement automatiser.
Quand je suis arrivé à l’université et que j’ai suivi des cours de théorie des nombres et d’algèbre abstraite, j’ai été stupéfait de découvrir à quel point les mathématiques étaient belles, d’une manière presque impossible à expliquer. Ce n’est qu’en suivant un cours d’analyse réelle que j’ai vu qu’il y avait aussi, dans le calcul infinitésimal, des aspects qui ne semblaient pas être une perte de temps.
Un jour, je suis retourné dans mon lycée et j’ai demandé avec passion à Andrew Merrill, qui était alors mon mentor en informatique, pourquoi il ne m’avait pas fait découvrir la théorie des groupes. La réponse a été : le SAT. Comme ce sujet n’apparaissait pas au SAT, il n’y avait pas de justification pour l’enseigner.
S’il était enseigné, c’est parce qu’il était un prérequis en ingénierie et en physique, et que cela était devenu important après la course à l’espace.
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/SAT_Subject_Tests
Au Canada aussi, jusqu’à la première année d’université, le programme était assez similaire, centré sur le calcul infinitésimal, avec un peu d’algèbre linéaire. La raison est que le calcul infinitésimal est nécessaire en ingénierie, en physique, dans certaines branches de la chimie et de la biologie, en statistique, dans certains domaines de l’économie, etc.
Dans la société, les mathématiques sont avant tout un outil. Je le dis en tant que personne ayant fait des mathématiques pures et s’étant concentrée sur l’algèbre et la théorie des nombres. Pour la grande majorité des étudiants, l’utilité pratique est réellement centrale. Contrairement aux sciences ou aux humanités, les mathématiques comportent une couche d’abstraction difficile à apprécier sans mise en contexte délibérée.
J’ai envie de dire : « C’est l’économie, idiot. » La disponibilité mentale est aussi une ressource. Si la plupart des gens n’étudient pas les mathématiques, ce n’est pas parce qu’ils ne le veulent pas, mais parce qu’ils ne le peuvent pas.
Si l’on demandait aux gens ce qu’ils feraient avec un revenu de base couvrant toutes leurs dépenses et leurs besoins, je pense que beaucoup choisiraient l’accomplissement personnel ou l’art. Pratiquer et apprendre les mathématiques relève aussi de ces deux catégories.
Sur ce point, se concentrer sur la pleine conscience, comme avec vipassana, peut être d’une grande aide. Mais la pleine conscience n’est pas un entraînement intellectuel : c’est quelque chose qu’il faut réellement vivre. Si l’on médite plusieurs heures par jour, on arrive en quelques mois à un bien meilleur endroit.
Au moins, d’après les anecdotes autour de moi, beaucoup ont plutôt eu davantage d’enfants.
Ce n’est pas une compétition, donc je n’ai pas besoin d’être meilleur que les autres en mathématiques, mais d’autres objectifs — la cryptographie, de meilleurs algorithmes, la compréhension de la physique — sont limités par ma compréhension rudimentaire des mathématiques.
Si j’étais millionnaire, apprendre beaucoup de mathématiques pendant mon temps libre, en me reposant dans une maison au bord de la mer, ferait partie des choses que je poursuivrais.